si $a$ y $b$ son irracionales y $a \neq b$ , entonces es $ab$ ¿es necesariamente irracional?

Question

$\sqrt{2}\sqrt{2}$ es racional por lo que no es el caso $\forall$ m,n $\in$ $\Bbb{R} - \Bbb{Q}$ , mn $\in$ $\Bbb{R} - \Bbb{Q}$ . ¿Y si m $\neq$ n? ¿Existe un caso en el que m $\neq$ n y $mn$ ¿es racional?

Answer 1

Ejemplo de contador para el primer caso, y un ejemplo para el segundo caso: $a = \sqrt{2}, b = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ . $a \neq b$ Sin embargo $ab = 1 \in \mathbb{Q}$ . Para el otro caso, toma $a = \sqrt{2}-1, b = \sqrt{2}$ , $a \neq b$ y $ab = 2-\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ .

Answer 2

Es trivial que \begin{eqnarray} && a\in\mathbb{Q}\,,\,b\in\mathbb{Q}\,\Rightarrow ab\in\mathbb{Q}\\ && a\in\mathbb{Q}\,,\,b\in\mathbb{Q}^c\,\Rightarrow ab\in\mathbb{Q}^c\,\,\,,\,a\neq0\\ \end{eqnarray} pero con otros casos: \begin{eqnarray} && \sqrt{2}\in\mathbb{Q}^c\,,\,\sqrt{2}\in\mathbb{Q}^c\,\,\,\,\text{but}\,\,\, 2\in\mathbb{Q}\\ && \sqrt{3}\in\mathbb{Q}^c\,,\,\sqrt{2}\in\mathbb{Q}^c\,\,\,\,\text{but}\,\,\, \sqrt{6}\in\mathbb{Q}^c\\ \end{eqnarray} Más, que es trivial que \begin{eqnarray} && a\in\mathbb{Q}\,,\,b\in\mathbb{Q}\,\Rightarrow a+b\in\mathbb{Q}\\ && a\in\mathbb{Q}\,,\,b\in\mathbb{Q}^c\,\Rightarrow a+b\in\mathbb{Q}^c\\ \end{eqnarray} pero con otros casos: \begin{eqnarray} && \sqrt{2}\in\mathbb{Q}^c\,,\,-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}^c\,\,\,\,\text{but}\,\,\, 0\in\mathbb{Q}\\ && \sqrt{3}\in\mathbb{Q}^c\,,\,\sqrt{2}\in\mathbb{Q}^c\,\,\,\,\text{but}\,\,\, \sqrt{3}+\sqrt{2}\in\mathbb{Q}^c\\ \end{eqnarray}

Answer 3

Usted pregunta si $\forall m,n\in\mathbb R, m\ne n\implies mn\in \mathbb Q$ .

Eso significaría que $\forall m\in\mathbb R-\mathbb Q, m\ne\sqrt2\implies m\sqrt2\in \mathbb Q$ .

Hay muchos más contraejemplos que ejemplos, como $\mathbb R-\mathbb Q$ es incontable, mientras que $\mathbb Q$ es.

Answer 4

Sea $q$ un número racional distinto de $0$ . Sea $a$ un número irracional con $a^2\ne q$ . Entonces $b=\frac{q}{a}$ es un número irracional que no es igual a $a$ pero $ab=q$ es racional por construcción.

Por tanto, el producto de dos números irracionales diferentes no siempre es irracional. De hecho, el número de contraejemplos es incontable (ya que para cualquier $q$ casi todos los números irracionales pueden ser elegidos como $a$ ).

Curiosamente, esto significa que hay tantos pares de números irracionales cuyo producto es racional como productos de números irracionales cuyo producto es irracional, a pesar de que hay más números irracionales que racionales.