Si un grupo $G$ sólo tiene un número finito de subgrupos, entonces demuestre que $G$ es un grupo finito. No tengo ni idea de cómo empezar esta pregunta. ¿Puede alguien guiarme?
Respuestas
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Supongamos que $G$ fueran infinitas. Si $G$ contiene un elemento de orden infinito, entonces _ .
En caso contrario, cada elemento de $G$ tiene un orden finito, y si $x_1, x_2, \ldots, x_n$ son cualquier conjunto finito de elementos de $G$ entonces los subgrupos $\langle x_i \rangle$ cubren sólo un número finito de elementos de $G$ . Por lo tanto, _ _.
Davidenko
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Creo que la forma negativa de eso es más fácil de probar: "Si un grupo $G$ es infinito, entonces tiene infinitos subgrupos".
Lo que haría entonces es tomar un miembro $a\in G$ tal que $\left< a \right>$ es infinito, entonces demuestre que hay un número infinito de subgrupos justo ahí, y diga que si no hay tal $a$ existe, debe haber infinitos subgrupos del tipo $\left< a \right>$ .
user56747
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Una pista: El grupo cíclico infinito $\mathbb Z$ tiene infinitos subgrupos ( $n\mathbb Z$ ) por lo que cada elemento de $G$ debe tener un orden finito. Usa esto para demostrar que hay un finito colección $g_1, \ldots, g_n \in G$ de elementos tal que cada elemento de $G$ es de la forma $g_i^j$ para alguna elección de $i$ y $j$ .
