Muestran que

Question

Otro ejercicio (esto es 7.2.18) de "Introducción al Análisis Real" por Bartle y Sherbert que estoy luchando con:

Deje $f$ ser continua en $[a,b]$, vamos a $f(x)>=0$$x\in[a,b]$, y deje $M_{n}:=(\int_{a}^{b}f^{n})^\frac{1}{n}$. Mostrar que $\lim(M_{n})=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}$.

Creo que como $f$ es continua, así delimitado, en el intervalo de tiempo dado, uno debe comenzar con la representación de $M_{n}$ $(M^{n}\int_{a}^{b}(\frac{f}{M})^{n})^\frac{1}{n}$ donde $M$ es esencial supremum de $f$ en el intervalo de tiempo dado, y luego proceder a partir de ahí; sin embargo, no estoy seguro de cómo formalizar más pasos...

Tenga en cuenta que este ejercicio en particular es siguientes ejercicios en MVT para las integrales. Lo otro enfoque que probé fue a seguir a partir de el hecho de que exista $c_{1},\ldots,c_{n}\in[a,b]$ tal que $M_{n}=(f(c_{1})\int_{a}^{b}f^{n-1})^\frac{1}{n}=\ldots=(f(c_{1})\ldots f(c_{n})(b-a))^\frac{1}{n}$, pero fue en vano.

Answer 1

Fijar$\varepsilon>0$, y dejar$x_0\in [a,b]$ tal que$f(x_0)=M$ como en el OP. Tome$\delta>0$ tal que si$|x-x_0|\leqslant \delta$ y$x\in [a,b]$ entonces $$M-\varepsilon< f(x)<M+\varepsilon .$ $ Llamar$I:=[a,b]\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)$; Entonces la longitud de$I$ es al menos$\delta$ y menor que$2\delta$. Por lo tanto$$ M^n(b-a)\geqslant \int_a^bf(x)^ndx\geqslant \int_I f(x)^ndx\geqslant \delta (M-\varepsilon)^n. Tomando el poder$\frac 1n$, esto da que $$M(b-a)^{\frac 1n}\geqslant \left(\int_a^bf(x)^ndx\right)^{\frac 1n}\geqslant \delta^{\frac 1n}(M-\varepsilon).$ $ La primera desigualdad da ese$$ \limsup_{n\to +\infty}\left(\int_a^bf(x)^ndx\right)^{\frac 1n}\leqslant M, y el segundo que para cada$\varepsilon>0$,$$\liminf_{n\to +\infty}\left(\int_a^bf(x)^ndx\right)^{\frac 1n}\geqslant M-\varepsilon. La conclusión sigue.

Answer 2

Por la desigualdad de Jensen (véase, por ejemplo, este post) tiene que $$m_n := \frac{M_n}{(b-a)^{\frac1n}} = \frac{1} {b-a)^{\frac 1n}} \left( \int_a^bf^n \right)^{\frac1n}$$ está aumentando, por lo tanto tampoco converge o diverge. Tenga en cuenta que $\lim_{n\to\infty} m_n=\lim_{n\to\infty}M_n$.

Desde $0\leq f\leq\max f$ $$M_n \leq \max f$$ así llegamos a la conclusión de que $M_n$ converge y $\lim_{n\to\infty}M_n\leq\max f$. Ahora esto es suficiente para mostrar que $\lim_{n\to\infty}M_n\geq\max f$.

Desde $f$ es continua para todos los $\varepsilon>0$ el conjunto $$E_\varepsilon := \{x\in(a,b):~f(x)\geq\max f-\varepsilon\}$$ tiene medida positiva... se puede ir a partir de aquí? (Sugerencia: dar una estimación de $\int_{E_\varepsilon} f$)