Demostrar la no limitación de una determinada secuencia de valores reales.

Question

Propuesta Supongamos que $ (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ es una secuencia en $ \mathbb{R} $ tal que $$ \forall m,n \in \mathbb{N}: \quad m > n ~~ \Longrightarrow ~~ |x_{m} - x_{n}| > \frac{1}{n}. $$ Entonces $ (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ no tiene límites.

De alguna manera puedo demostrar que $ \displaystyle \text{Diam} \left( \{ x_{n} \}_{n=1}^{N} \right) > \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} $ para todos $ N \in \mathbb{N} $ pero los detalles son confusos. ¿Podría haber una prueba más clara? Muchas gracias.

Answer 1

Por cada $n$ , dejemos que $I_n=(x_n-\frac1{2n},x_n+\frac1{2n})$ . Supongamos que para algunos $n\lt m$ existe $x$ en $I_n\cap I_m$ . Entonces $|x_n-x_m|\leqslant|x-x_n|+|x-x_m|\lt\frac1{2n}+\frac1{2m}\lt\frac1n$ lo cual es absurdo. Por lo tanto, $I_n\cap I_m$ está vacío para cada $n\ne m$ . En particular, el conjunto $J=\bigcup\limits_nI_n$ tiene medida de Lebesgue $\sum\limits_n\frac1n$ que es infinito, por lo tanto $J$ no está acotado. Para cada $M\gt0$ existe $x$ en $J$ tal que $|x|\gt M$ . Por definición de $J$ Esto implica que existe $n$ tal que $|x_n|\geqslant|x|-|x-x_n|\gt M-1$ por lo que la secuencia $(x_n)_n$ no está acotado.

Obsérvese que se puede sustituir $\frac1n$ por algún positivo $a_n$ Siempre y cuando la serie $\sum\limits_na_n$ diverge.

Answer 2

Aquí está la solución en la que he estado trabajando, que evita la teoría de la medida. He conseguido simplificar mi argumento original, ¡así que ahora es digno de ser publicado! :)

Dejemos que $ N \in \mathbb{N} $ .

1. Obsérvese que los términos de $ (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ son distintos.

2. Encontrar una permutación $ \sigma: \{ 1,\ldots,N + 1 \} \to \{ 1,\ldots,N + 1 \} $ que hace $ (x_{\sigma(n)})_{n=1}^{N+1} $ una secuencia estrictamente creciente.

3. Dejemos que $ n \in \{ 1,\ldots,N \} $ .

   • Si $ \sigma(n + 1) > \sigma(n) $ , entonces la hipótesis arroja $ x_{\sigma(n + 1)} - x_{\sigma(n)} > \dfrac{1}{\sigma(n)} $ .

   • Si $ \sigma(n + 1) < \sigma(n) $ , entonces la hipótesis arroja $ x_{\sigma(n + 1)} - x_{\sigma(n)} > \dfrac{1}{\sigma(n + 1)} $ . Por lo tanto, como $ \dfrac{1}{\sigma(n + 1)} > \dfrac{1}{\sigma(n)} $ también obtenemos $ x_{\sigma(n + 1)} - x_{\sigma(n)} > \dfrac{1}{\sigma(n)} $ .

4. Por lo tanto, tenemos lo siguiente: \begin{align} \sum_{n=1}^{N} \left[ x_{\sigma(n + 1)} - x_{\sigma(n)} \right] &> \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{\sigma(n)}. \quad (\text{Telescoping sum on the left-hand side.}) \\ x_{\sigma(N + 1)} - x_{\sigma(1)} &> \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{\sigma(n)} \quad (\text{After evaluating the telescoping sum.}) \\ &= \left[ \sum_{n=1}^{N+1} \frac{1}{\sigma(n)} \right] - \frac{1}{\sigma(N + 1)} \quad (\text{Adding and subtracting.}) \\ &= \left[ \sum_{n=1}^{N+1} \frac{1}{n} \right] - \frac{1}{\sigma(N + 1)} \quad (\text{As $ \sigma $ is a permutation.}) \\ &\geq \left[ \sum_{n=1}^{N+1} \frac{1}{n} \right] - 1 \quad (\text{As $ \sigma(N + 1) \geq 1 $.}) \\ &= \sum_{n=2}^{N+1} \frac{1}{n}. \end{align}

5. Por lo tanto, $$ \text{Diam} \left( \{ x_{n} \}_{n=1}^{N+1} \right) = \left( \max_{1 \leq n \leq N + 1} x_{n} \right) - \left( \min_{1 \leq n \leq N + 1} x_{n} \right) > \sum_{n=2}^{N+1} \frac{1}{n}. $$

Como $ N \in \mathbb{N} $ es arbitraria, se deduce de la divergencia de la serie armónica que $ \text{Diam} \left( \{ x_{n} \}_{n=1}^{\infty} \right) = \infty $ .

Conclusión: $ (x_{n})_{n=1}^{\infty} $ es una secuencia no limitada en $ \mathbb{R} $ .