Trato de evaluar este límite:
ps
Yo consideraba esta desigualdad
ps
y entonces
ps
Mis preguntas son:
1) - ¿cómo probar la desigualdad con el principio de inducción?
2) - hay otra manera de resolver este límite?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Solo mostraré la desigualdad superior como muestra el comentario de @ JavaMan. Para$n=1$, solo es$\frac 14\leq\frac 13$, y si es cierto para$n$ entonces \begin{align*}\left(\prod_{j=1}^{n+1}\frac{2j-1}{2j}\right)^2&=\left(\frac{2n+1}{2(n+1)}\right)^2\left(\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j}\right)^2\\ &\leq \left(\frac{2n+1}{2(n+1)}\right)^2\frac 1{2n+1}\\ &=\frac{2n+1}{4(n+1)^2}, \end {align *} que es$\leq \frac 1{2n+3}$ desde$\frac{(2n+1)(2n+3)}{4(n+1)^2}=\frac{4n^2+5n+3}{4n^2+8n+4}\leq 1$.
Otra forma: poner$a_n:=\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j}$. Luego, por$\ln(1+x)\leq x$ para$x\geq -1$ tenemos$$\ln a_n =\sum_{j=1}^n\ln\left(1-\frac 1{2j}\right)\leq -\frac 12\sum_{j=1}^n\frac 1j,$ $ so$a_n=\exp\left(-\frac 12\sum_{j=1}^n\frac 1j\right)$ y podemos concluir ya que la serie armónica diverge.
