Sugerencia para resolver$1+y'^2-y\cdot y''=0$?

Question

Tengo la ODE siguiente:$$1+y'^2-y\cdot y''=0$ $

Nunca he resuelto una ODE donde dos "versiones" (no sé el término) de$y$ se multiplican entre sí, en este caso$y$ y$y''$.

¿Puedo tener una pista de cómo abordar esto, sin demasiada respuesta?

Answer 1

Sustituya$v(y)=\frac{dy}{dx}$, tratando$y$ como la variable independiente. Por lo tanto, evaluamos$\frac{d^2 y}{dx^2}$ como:$$\frac{d^2 y(x)}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy(x)}{dx}\right)=\frac{dv(y)}{dx}=\frac{dv(y)}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dv(y)}{dy}\cdot v(y)$ $ Por lo tanto, aplicar la sustitución da:$$1+v^2-y\cdot v\cdot \frac{dv}{dy}=0$ $ Esta es claramente una ecuación diferencial separable:$$\frac{dv}{dy}=\frac{1+v^2}{v\cdot y}$ $ Resolviendo esto para$v(y)$Y la sustitución por$v(y)=\frac{dy}{dx}$ no debería ser un problema.

Answer 2

Otro enfoque. Trate esta ecuación diferencial como una ecuación donde$x$ es una función de$y$. La ecuación diferencial se convierte en:

ps

o equivalente:

ps

Ahora, sustituya$$1 + \frac{1}{x'^2} + \frac{yx''}{x'^3}=0$

La ecuación diferencial se convierte en:

ps

Que es una ecuación diferencial separable.

Tenga en cuenta que tendrá que resolver otra ecuación diferencial una vez que haya resuelto$$x'^3 + x' + yx''=0$, pero esto no debería ser un problema.

Answer 3

Voy a elaborar un poco sobre la sustitución de $v=y'$ @projectilemotion la respuesta.

En general, las ecuaciones diferenciales no lineales de la dependencia en la parte inferior de los derivados son muy difíciles y, a menudo, no es posible resolver analíticamente, por lo que la gente usa diferentes trucos o tratar de adivinar una forma de solución. En esta ecuación $$ y\cdot y"-(y')^2=1\etiqueta{Eq} $$ del lado izquierdo se ve como el numerador del cociente regla de $$ \left(\frac{y}{y'}\right)'=\frac{(y')^2-y\cdot y"}{(y')^2}=-\frac{1}{(y')^2}, $$ sin embargo, en esta forma, no da mucho. Vamos a tratar de reemplazar el denominador con algo más general de una función de $y'$ - y ver lo que puede salir de ese $$ \left(\frac{y}{f(y')}\right)'=\frac{y'\cdot f(y')-y\cdot f'(y')y"}{f^2(y')}\stackrel{(\rm Eq)}{=}\frac{y'\cdot f(y')-(1+y'^2) f'(y')}{f^2(y')}. $$ Si nos las arreglamos para encontrar $f$ de manera tal que el numerador es cero, entonces estamos (casi) hecho. Parece que es una ecuación diferencial para $f$ si tratamos $y'$ como una variable $v$, es decir, si $f$ soluciona $$ vf(v)-(1+v^2)f'(v)=0 $$ entonces el numerador es cero si establecemos $y'$$v$. La solución para $f$ tenemos una solución a $f(v)=\sqrt{1+v^2}$, por lo tanto, el original lo pueden encontrar soluciones entre $$ \left(\frac{y}{\sqrt{1+y'^2}}\right)'=0. $$

P. S.

Si usted recibe esta ecuación como la de Euler-Lagrange ecuación dentro de cálculo de variaciones contexto, a continuación, puede utilizar el estándar manera de conseguir alrededor de la dificultad que he encontrado aquí.