Calcular$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{b_{n-1}}{n 2^n}$ donde$b_n=\sum\limits_{k=0}^n\frac{2^k}{k+1}$

Question

Definir la secuencia de $a_n := \frac{2^n}{n+1}$. A continuación, defina la secuencia de $b_n$, las sumas parciales de $a_n$; es decir: $$b_n=\sum_{k=0}^{n} {a_k}$$ El problema es calcular: $$\sum_{n=1}^{\infty} {\left(\frac{b_{n-1}}{n 2^n}\right)}$$

Esto es muy difícil de estimar con un sistema de álgebra computacional. En Arce, no puedo completar una estimación de $100000$ términos menos de un minuto. (Sin embargo, la suma de los primeros a $1000$ términos es de aproximadamente $1.23270055$.)

Me pregunto si la suma doble se puede convertir en una serie de convolución de algún tipo; la posibilidad de obtener un $2^{n-m}$ plazo parece ayudar a la perspectiva.

Gracias!

Answer 1

Considera lo siguiente.

Dado: \begin{align} b_{n} &= \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{k}}{k+1} \\ S &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n-1}}{2^{n} \, n}. \end {align} Ahora:$$b_{n} = \frac{1}{2} \, \sum_{k=1}^{n+1} \frac{2^{k}}{k} $ $ que conduce a \begin{align} S &= \frac{1}{2} \, \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2^{k}}{2^{n} \, n \, k} = \frac{1}{2} \, \sum_{n,k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \, k \, (n+k)} = \frac{\pi^{2}}{8}. \end {align}

Una vista alternativa es: \begin{align} b_{n} &= \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{k}}{k+1} = \sum_{k=0}^{n} 2^{k} \, \int_{0}^{1} t^{k-1} \, dt \\ &= \int_{0}^{1} \left( \sum_{k=0}^{n} (2 t)^{k} \right) \, dt \\ &= \int_{0}^{1} \frac{1 - (2 t)^{n+1}}{1-2 t} \, dt. \end {align} Ahora, \begin{align} S &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \, n} \, \int_{0}^{1} \frac{1 - (2 t)^{n}}{1-2 t} \, dt \\ &= \int_{0}^{1} \frac{\ln(2) + \ln(1-t)}{1-2 t} \, dt \\ &= \left[ \frac{1}{2} \, Li_{2}(2 t -1) \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \, (Li_{2}(1) - Li_{2}(-1) ) \\ &= \frac{1}{2} \, \left(\frac{\pi^2}{6} + \frac{\pi^2}{12} \right) = \frac{\pi^{2}}{8}. \end {align} Nota:$Li_{2}(x)$ es la función del dilogaritmo.

Answer 2

Esta suma es la transformada de Euler de la serie$$1-0+\frac1{3^2}-0+\frac1{5^2}-0+\frac1{7^2}-\ldots = \frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{24}=\frac{\pi^2}{8}.$ $