¿Fortalezas de la consistencia de las teorías necesarias para la física?

Question

1. ¿Cuáles son algunas de la consistencia fortalezas (por ejemplo, en términos de la prueba de la teoría de los números ordinales) de la plena axiomatizations de los más comúnmente utilizado las teorías de la física, para aquellas teorías que han sido totalmente axiomatized, tales como la Relatividad General, el Modelo Estándar de QM y QFT, etc.?

2. Es allí cualquier supongo que, a grandes rasgos, en cuanto a qué nivel de fuerza sería necesario, como mínimo, para una teoría del todo? Esto es suponiendo que tal cosa es eventualmente posible y termina no muy lejos de "la gravedad cuántica."

Mi motivación para esta pregunta es tanto un) solo curiosidad acerca de cómo formalizado teorías de la física comparar con otras conocidas teorías, la fuerza de sabios, y b) filosofía (si uno cree que el universo ES una estructura matemática, requiere de una teoría que describe la coherencia de existir, esto sería, para mí, una "razón" para creer en la consistencia de las teorías hasta una cierta fuerza.)

Sinceramente lo siento si esta pregunta es demasiado blando para aquí o sería mejor en otro stackexchange sitio, pero no pude encontrar uno mejor, y no podía encontrar ninguna información sobre esta cuestión.

Answer 1

Yo creo que el principal problema es si quieres hablar de teorías matemáticas de la física en forma normal, por ejemplo, utilizando el teorema espectral para arbitrario auto-adjunto operadores en espacios de Hilbert, o si usted está dispuesto a 'recortar' estas teorías a los algoritmos que dan aproximado de predicciones, de precisión arbitraria, por lo que se observa en los experimentos específicos.

En el primer caso, donde vamos a hacer matemáticamente riguroso de la física en el ordinario de estilo, estamos superficialmente el uso de ZFC — pero a continuación, podemos trabajar para ver si más débiles cimientos será suficiente. Por ejemplo, los analistas han pasado un montón de tiempo trabajando para volver a formular teoremas sin la necesidad de que el Axioma de Elección, y estoy seguro de que los físicos podría prescindir de él si quería.

En el último caso, donde tratamos de adoptar determinadas teorías de la física y tira de ellos hacia abajo a los algoritmos de cómputo aproximado predicciones aproximado inicial de los datos, estos algoritmos pueden ser expresados en términos de la aritmética (dado un número racional puede ser especificado por un par de enteros, y así sucesivamente), y se puede argumentar que cualquier cosa más allá de las funciones recursivas $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ no es realmente necesario. Hay una amplia teoría de la 'computable de los análisis dedicados a estas preguntas:

• Mariana B. Pour-El y J. Ian Richards, la Computabilidad en el Análisis y la Física, Springer, Berlín, 1989

y en mi tesis de pregrado he demostrado que multiparticle la mecánica cuántica con fuerzas de Coulomb fue computable en este sentido:

• Juan C. Báez, la Recursividad en la mecánica cuántica, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 280 (1983), 339-350.

Pero que trata de las funciones computables, no teoremas de ser demostrable. Sería bueno si la gente tomó teoremas acerca de las consecuencias observables de las teorías físicas y trató de demostrar que el uso de las bases débiles. Es muy posible que algo tan débil como PRA — primitiva recursiva aritmética — sería suficiente. Que tiene pruebas de la teoría ordinal $\omega^\omega$. Como usted probablemente sabe, Harvey Friedman ha conjeturado que el Último Teorema de Fermat puede ser hecho demostrado en la primaria función de la aritmética, que tiene la prueba de la teoría ordinal sólo $\omega^3$. Hasta ahora Colin McLarty ha demostrado que finito de orden aritmético será suficiente:

• Colin McLarty, Las grandes estructuras de Grothendieck fundada en finito de orden de la aritmética.

Un estudio similar para la física matemática sería interesante, pero no soy consciente de ello.

Después de escribir lo de arriba, vi este comentario por David Roberts en G+:

Creo que el Feng Ye ha demostrado que una versión estricta de finitism es suficiente para capturar la geometría diferencial y el análisis funcional hasta el punto de ser capaz de hacer la relatividad y una parte sustancial de la teoría cuántica, respectivamente.

Él se está refiriendo a esto:

• Feng Ye, Estricta Finitism y la Lógica de Aplicaciones Matemáticas, Springer, Berlín, 2011. (Versión preliminar disponible aquí.)