Parece tan obvio que conjunto vacío es único, y sin embargo cada conferencia sobre teoría de conjuntos y topología siente la necesidad de la prueba del estado. ¿Por qué?
Si algo parece completamente obvio, pero el profesor aún presenta la prueba, es generalmente un signo de cola de decir, que uno está estudiando el caso especial sin saber, y la propiedad no es cierto en el caso general.
Esto no es realmente una pregunta sobre el conjunto vacío tanto como es una pregunta acerca de la enseñanza de las matemáticas, la cultura, la pedagogía y las prácticas.
El punto es doble:
Este es un muy buen ejemplo de mostrar una prueba simple. Tenemos algunos de los axiomas, y se deriva una consecuencia. Esta es una buena manera de ejercitar a los estudiantes en cómo abordar un problema que parece obvio (que suelen ser muy difícil al principio, porque usted no sabe lo que debe hacer). Este es un buen ejercicio para entender que las pruebas requieren que usted entienda los supuestos, sus consecuencias, y qué tipo de rutas que uno puede tomar con el fin de verificar estas afirmaciones.
No hay ninguna noción absoluta de "obvio". Y es importante que las matemáticas se construye sobre bases sólidas. Lo que solía ser obvio que todos los números son radios de dos repetición de las sumas de la unidad; pero, a continuación, $\sqrt2$ pasó a ser irracional. La historia está llena de ejemplos similares, donde la gente hacía errores que pueda ser considerada muy tonto hoy en día. Pero en el momento en que, debido al hecho de que "obvio observaciones" se queda sin marcar (parcialmente porque culturalmente los matemáticos no se molestó con muy definiciones precisas de la tierra para arriba). Así que, de nuevo, esta es una excelente oportunidad para inculcar unos buenos valores en los estudiantes y enseñarles que todo lo que se requiere prueba de matemáticas.
La pregunta parece preguntar acerca de las motivaciones de la gente que no es un problema matemático. Sin embargo, considere la posibilidad de una teoría que permite urelements (átomos), es decir, objetos que no tienen elementos, sin embargo, no es el conjunto vacío. Así, el estándar de prueba de la singularidad de conjunto vacío no se aplica a los átomos. También, considere la posibilidad de la categoría de conjuntos y funciones. El conjunto vacío es un objeto inicial en esta categoría. Cualquier objeto inicial en cualquier categoría es única hasta el isomorfismo. Esto es similar a la singularidad de conjunto vacío en la teoría de conjuntos.
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