¿Por qué tiene la primitiva de $\frac{1}{x}$ $0$ % precisamente $x=1$? (cuando $C = 0$)

Question

¿Por qué $\log{x}$ representan el área debajo de la gráfica de $f(x)=\frac{1}{x}$ $1$ $x$? ¿Qué es tan especial acerca de $1$ en este caso?

Por supuesto que entiendo que $\log{1}=0$ y también entiendo que no se puede iniciar en $x=0$ porque $f(0)$ no está definido.

Todavía no puedo conseguir mi cabeza alrededor de por qué tiene que ser $1$.

Además, esto implica, además, que parte de la antiderivada de $f(x)=\frac{1}{x}$ tiene que ser negativo (como parte de la función de $\log{x}$ es negativo). Pero ¿por qué es esto necesario?

El fondo de esta pregunta es que mi cálculo-libro (Cálculo, de un curso completo) comienza con darse cuenta de que $f(x)=\frac{1}{x}$ no es una antiderivada de una función polinómica y, a continuación, intenta definir una antiderivada que termina siendo $\log{x}$. Lo hace todo, incluso antes de abordar el teorema fundamental del cálculo o las técnicas de integración. Luego simplemente definir $log(1)$ $0$ , sin siquiera saber lo que la función es realmente todavía. Así que estoy atascado con un tipo de razonamiento circular donde log(1)=0 debido a que hemos definido de esa manera, pero yo no entiendo por qué hemos de definir de esa manera.

Cuando el cálculo de áreas bajo los gráficos al tomar el límite de una suma (en lugar de por la integración), que comenzaría a $x=0$ derecho?

Así que en resumen: ¿por Qué la antiderivada de $\frac{1}{x}$ ser $0$ a, precisamente,$x=1$? (al $C = 0$). ¿Por qué nos definir de esa manera?

Estoy buscando algún tipo de entendimiento más profundo; algo que todavía no "clic". Por lo que algunas fondo real sobre lo que está pasando aquí sería muy apreciada.

Gracias!

Answer 1

¿Por qué la antiderivada de $\frac{1}{x}$ ser $0$ a, precisamente,$x=1$?

Está usted familiarizado con el teorema fundamental del cálculo? En su caso puede ser declarado como

$$\int_y^x \frac{1}{t}dt=\ln(x)-\ln(y)$$

Debido a $\ln(t)$ es una antiderivada de $\frac{1}{t}$. Ahora para $x=1$ tenemos $\ln(x)=0$ y por lo tanto

$$\int_1^x \frac{1}{t}dt=\ln(x)$$

De modo que el lado derecho es muy simple. Es por eso que la elección de $1$ es lo más conveniente.

Así que la pregunta no debería ser "¿por qué antiderivada es$0$$1$", sino "¿por qué elegimos $\ln(x)$ a un ser muy especial, el antiderivada de $\frac{1}{x}$". Y la razón por la que hemos expresado anteriormente. La simplicidad.

EDIT: por Lo que ahora entiendo que en realidad

$$\ln(x):=\int_1^x \frac{1}{t}dt$$

es la definición de logaritmo en su libro. Así que ahora la pregunta "¿por qué elegimos $1$?" tiene más sentido. La razón no es obvia aunque es muy sencillo: porque funciona. En el sentido de que esta definición de $\ln(x)$ tiene buenas propiedades, en particular es un homomorphism

$$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$$

También es la inversa de la clásica exponencial mapa:

$$e^x:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Estas propiedades no se puede sostener si utiliza cualquier otro número, a continuación, $1$ en la integral.

Entiendo la confusión ahora. Y la OMI no es bueno (desde el punto de vista educativo) para definir el logaritmo así.

Nota: a partir de $0$ no es buena debido a que $\int_{0}^x\frac{1}{t}dt=\infty$ cualquier $x>0$. Esto corresponde al hecho de que la línea tangente a $\ln(x)$ $0$ es vertical.

Answer 2

A partir de sus comentarios parece que la parte de tu pregunta no responder es "¿por qué es $\log(1)$ define a ser $0$? La respuesta radica en el propósito del logaritmo.

Logaritmos convertir la multiplicación en suma: $\log(xy) = \log(x)+\log(y)$, y lo hacen porque es más fácil para los seres humanos para agregar las cosas que multiplicar juntos. En orden para que esto funcione el logaritmo tiene que asignar el multiplicativo de identidad a la identidad aditiva: es decir $log(1) = 0$. Si no obtendríamos $\log(x) = \log(1\cdot x) = \log(1) + \log(x) \not= \log(x)$, lo que sería un problema.

Los logaritmos son a menudo descritos (ver wikipedia por ejemplo) como la inversión del operador de exponenciación, que se asigna además a la multiplicación.

Answer 3

Si usted tiene un vistazo a esta página de la epistemología (lo siento, está en francés pero yo que voy a tratar de resumir los puntos principales)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_des_logarithmes_et_des_exponentielles

El artículo dice que en el principio $\log(1)$ no era cero, pero en lugar de eso se fue a $\log(10^7)=0$

Alrededor de $1615-1616$ Briggs y Neper tenido alguna discusión acerca de los pros y los contras de sus propias decisiones acerca de la nueva herramienta (logaritmos) y el punto era que al multiplicar las cantidades por los diferentes poderes de $10$ para ajustarse a tales o tales pre-calculado de la tabla no era agradable, y parece que se pusieron de acuerdo en la configuración de $\log(1)=0$.

Una ventaja adicional era la relación fundamental $\mathbf{\log(a\times b)=\log(a)+\log(b)}$

(para los que $\log(1)=2\log(1)$ fuerzas de $\log(1)=0$)

Esta ruptura a través de permitir manipular productos le gusta sumas de dinero a través de las tablas de anti-logaritmos.$^*$

$(*)$ exponencial se desarrolló mucho más tarde en la historia, con Euler y el valor de $e$, de pie para $\bar euler$ presumo...

Answer 4

El antiderivate no es único. $x>0$, El general antiderivate $\frac{1}{x}$ es $\ln(x)+C$

Si se requiere que el antiderivate contiene un punto (en este caso $(1/0)$), el antiderivate es único. Insertar el punto de en $y=\ln(x)+C$ da $0=\ln(1)+C=C$, y viceversa, si tomamos $C=0$, tenemos $\ln(x)$ que contiene el punto $(1/0)$

Answer 5

Como mencionan otras respuestas, la elección es en cierto modo arbitraria, pero tenga en cuenta que $\log x+C=\log Ax,$ donde $A=e^C.$ al momento de decidir cuál de estas opciones se debe utilizar arbitrariamente, la única consideración es que debemos utilizar cualquiera uno hace álgebra (y la integración de expresiones más complejas) más fácil. La opción $C=0,$ $A=1$ minimiza la complejidad de la expresión, facilitar las cosas a ocuparse al encontrar la primitiva de expresiones más complejas.