Intersección de dos parábolas

Question

Dado $a>0$ y $b>0$ Quiero encontrar los puntos de intersección de las dos parábolas \begin{align} y&=1-ax^2 \\x&=1-by^2 \end{align}

Está claro que puedo eliminar una de las variables y obtendré una ecuación cuádruple, cuyas soluciones generales serán un enorme lío (según Mathematica, al menos).

También he probado a utilizar este enfoque pero de nuevo se quedó atascado en un atolladero de álgebra.

O bien, podría utilizar métodos numéricos, pero eso es lo que intento evitar.

El problema general de la intersección de dos curvas de sección cónica se entiende bien, y sólo puede resolverse mediante las técnicas que he descrito anteriormente (hasta donde yo sé). Pero mi problema es no la general, es un caso especial muy específico, y me pregunto si alguien puede ver algún atajo inteligente.

Según esta pregunta Los puntos de intersección están todos en un círculo, pero no sé si eso ayuda.

Answer 1

Esto es demasiado largo para un comentario.

Si consideramos las ecuaciones $$\begin{align} y&=1-Ax^2 \\x&=1-By^2 \end{align}$$ eliminando $y$ para obtener el cuartico en $x$ y, a continuación, utilizando el procedimiento dado en esta página tenemos $$\Delta=A^4B^2(256 A^2 B^2-256 A^2 B-256 A B^2+288 A B-27)$$ $$P=-16 A^3 B^2 <0$$ $$Q=8 A^4 B^2 >0$$ $$\Delta_0=4 A^2 B (4 B-3)$$ $$D=-64 A^6 B^3<0$$ Por lo tanto, habrá cuatro raíces reales si $\Delta >0$ y dos raíces reales si $\Delta <0$ .

Es decir, para un valor determinado de $A$ deberíamos tener sólo dos raíces reales si $B$ está entre las dos raíces $$B_1=\frac{A(9-8A)-\sqrt{A (4 A-3)^3}}{16 A(1-A)}$$ $$B_2=\frac{A(9-8A)+\sqrt{A (4 A-3)^3}}{16A(1-A)}$$ y cuatro raíces en caso contrario (esto supone $A\neq 0$ ).

Por ejemplo, utilizando $A=5$ y $B=0.9$ conduce a dos raíces reales mientras que $A=5$ y $B=1.1$ conduce a cuatro raíces reales.

Si nos fijamos en el caso particular en el que $B=\frac 1A$ $$\Delta=-A \left(256 A^2-517 A+256\right)$$ que es positivo si $$\frac{517-7 \sqrt{105}}{512}< A < \frac{517+7 \sqrt{105}}{512} $$ que representa un rango muy estrecho.

Utilizando $A=1.1$ conduce a cuatro raíces reales mientras que $A=1.2$ conduce a dos raíces reales.

El problema parece ser bastante sensible a los valores de los parámetros.

En el caso de que $A=1$ el problema se simplifica mucho ya que $\Delta=B^2 (32 B-27)$ . Por lo tanto, si $B > \frac{27}{32}$ cuatro raíces reales y sólo dos raíces reales en caso contrario.

Intentémoslo por $B = \frac{26}{32}$ $${x= -1.67794}\,,{x= 0.338968 -0.150441 i}\,,{x= 0.338968 +0.150441 i}\,,{x= 1.}$$ mientras que para $B = \frac{28}{32}$ $${x=-1.65597}\,,{x= 0.182018}\,,{x= 0.473952}\,,{x= 1.}$$

Editar

Interesante es el caso en el que $B=A$ En este caso $\Delta=A^6 (4 A-3)^3 (4 A+1)$ y luego cuatro raíces si $A >\frac 34$ . En este caso, las coordenadas de las intersecciones son $$\left( \begin{array}{cc} x & y \\ -\frac{\sqrt{4 A-3}-1}{2 A} & \frac{\sqrt{4 A-3}+1}{2 A} \\ \frac{\sqrt{4 A-3}+1}{2 A} & -\frac{\sqrt{4 A-3}-1}{2 A} \\ \frac{-\sqrt{4 A+1}-1}{2 A} & -\frac{\sqrt{4 A+1}+1}{2 A} \\ \frac{\sqrt{4 A+1}-1}{2 A} & \frac{\sqrt{4 A+1}-1}{2 A} \end{array} \right)$$

Estos puntos se encuentran a lo largo de un círculo centrado en $\left(-\frac{1}{2 A},-\frac{1}{2 A}\right)$ con un radio igual a $R=\sqrt{\frac{1+4A}{2A^2}}$

Answer 2

Quizás esto sea una mejora.

$$ y = 1 + a x^{2} \tag{1} $$

$$ x = 1 + b y^{2} \tag{2} $$

Sustituir $(2)$ en $(1)$ para obtener $$ y = 1 + a \left(b y^2+1\right)^2 $$ y resolver para $y$ .

---

$$ y = \color{blue}{\pm} \frac{1}{2} \sqrt{-\frac{4 \sqrt[3]{2} (4 a+3)}{3 \sqrt[3]{\beta -3 \sqrt{3} \sqrt{\alpha }}}-\frac{\sqrt[3]{\beta -3 \sqrt{3} \sqrt{\alpha }}}{3 \sqrt[3]{2} a b^2}-\frac{2 \sqrt{6}}{a b^2 \xi }\color{red}{\pm} \frac{8}{3 b}} \color{red}{\pm} \frac{\xi }{2 \sqrt{6}} $$ donde $$ \alpha = a^2 b^4 (27-32 a b (8 a (b+1)+8 b+9)) $$ $$ \beta = a b^2 (27-16 a (8 a+9) b) $$ $$ \xi = \sqrt{\frac{\frac{2^{2/3} \sqrt[3]{\beta -3 \sqrt{3} \sqrt{\alpha }}}{a}+\frac{8 \sqrt[3]{2} (4 a+3) b^2}{\sqrt[3]{\beta -3 \sqrt{3} \sqrt{\alpha }}}-8 b}{b^2}} $$ Hay un total de $4$ casos. El $\color{blue}{blue}$ y $\color{red}{red}$ signos son independientes.

Intrigado por su comentario sobre los puntos de intersección, se trazaron algunos casos.