¿Cuál es el estado de la teoría de campo de clase para los campos que no son ' t $\mathbb{Q}$, cuadráticas imaginario o un campo de función?

Question

Soy consciente de que la teoría de los complejos de la multiplicación nos ofrece funciones especiales cuyos valores describen $K^\text{ab}$ donde $K$ es un imaginario cuadrática extensión de los racionales. Y que drinfeld módulos proporcionan una manera similar descripción explícita de la máxima abelian extensión de una función global de campo.

Yo soy [vagamente] consciente de que el programa de langlands nos daría información acerca de nonabelian extensiones de global campos.

Pero cuál es el problema de dar un concreto conjunto de generadores para abelian extensiones de otros campos de $K$ al $K$ no $\mathbb{Q}$, un imaginario cuadrática campo de número, o una función global de campo? Por qué no pueden CM, trabajar en, digamos, un real abelian campo de número? Lo que va mal al intentar tomar las ideas de drinfeld módulos de vuelta a un número arbitrario de campo?

Dicho de otra manera - ¿cuál es el estado de Hilbert 12 de problema? Es totalmente asumida por el programa de langlands? Y si no, ¿cuáles son las propuestas de otras líneas de ataque?

Answer 1

Como uno de muchos intentos de construir la clase campos permiten señalar la obra de Henri Darmon (véase por ejemplo Curvas elípticas y los campos de la clase de campos Real cuadráticos: algoritmos y pruebas) en la construcción de campos de clase de los campos de número real cuadráticos.