demostrando $\mathrm e <3$

Question

Bueno, yo estoy solo me pregunto si hay una forma más elegante de la prueba de $$2<\exp(1)=\mathrm e<3$$ than doing it by induction and using the fact of $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac1n)^n=\mathrm e$, hay uno (o algunos) alternativa(s)?

Answer 1

¿Qué respuesta le parece más elegante puede depender de lo que la definición de $e$ estás empezando con el, como Dylan sugiere, pero este argumento me parece bastante corto y dulce: $$\begin{align} &\quad 1 + 1 &= 2\\ &< 1 + 1 + \frac12 + \frac1{2\cdot3} + \frac1{2\cdot3\cdot4} + \cdots &= e \\ &< 1 + 1 + \frac12 + \frac1{2\cdot2} + \frac1{2\cdot2\cdot2} + \cdots &= 3 \end{align}$$

Answer 2

Puede utilizar la integración por partes para mostrar:

$$\int_1^e (\ln x)^2 dx = e-2$$

$$\int_1^e (\ln x )^3 dx = 6- 2e$$

Desde $\ln(x)$ es estrictamente positivo por encima de $1$, obtenemos

$$e-2>0$$ $$6-2e>0$$

de modo que $2<e<3$.

Answer 3

Puede utilizar

$$e =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}= 2+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!}< 2+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)}=3 \,,$$

con la última igualdad siguiente inmediatamente del hecho de que $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)}$ es telescópica.

Por supuesto depende de la manera de definir $e$, de todos modos, la igualdad de

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac1n)^n$$ se puede establecer fácilmente usando el teorema del binomio.

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La segunda solución

Usted puede utilizar el hecho de que $a_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ está disminuyendo. La desigualdad de $a_{n+1} < a_n$ es una consecuencia inmediata de la Desigualdad de Bernoulli.

Tenga en cuenta que esto implica (inducción oculto aquí) que $a_n \leq a_6 <3$ todos los $n \geq 3$, y que

$$e =\lim a_n \leq a_6 <3 \,.$$

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Aquí está uno más:

$$e^{-1}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+.. \,.$$

Desde que la serie es alterna y $\frac{1}{n!}$ está disminuyendo, es obvio (muy fácil de demostrar) que la serie oscilates alrededor del límite y

$$s_{2n+1}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+....+\frac{1}{(2n)!}-\frac{1}{(2n+1)!} \leq \frac{1}{e} \leq 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+....+\frac{1}{(2n)!}=s_{2n}$$

[ En realidad, en la prueba de la Alternancia de serie de la prueba, una prueba la declaración más fuerte que para una serie que ha $s_{2n}$ disminución, $s_{2n+1}$ el aumento y $s_{2n+1} \leq s_{2n}$. ]

La desigualdad

$$1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!} < \frac{1}{e} < 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}$$ es

$$\frac{1}{3} < \frac{1}{e} < \frac{1}{2} \,.$$

Answer 4

Primero vamos a considerar una heurística simple argumento para demostrar que $2<e<4$. Es fácil probar usando la definición de la derivada que si $f(x)=2^x$$f'(x) = (\text{constant}\cdot 2^x$). La curva se hace más empinada como $x$ aumenta, y la pendiente promedio entre el$x=0$$x=1$$(2^1-2^0)/(1-0)= 1$. Por lo tanto, la pendiente en $x=0$ es de menos de $1$; de ahí la "constante" es menor que $1$. Ahora haz lo mismo con $g(x)=4^x$ en el intervalo de$x=-1/2$$x=0$, y a la conclusión de que la pendiente en $x=0$ es más que $1$; de ahí la "constante" de llegar allí es más de $1$.

Por lo $2$ es demasiado pequeño, y $4$ es demasiado grande, para servir como la base de la función exponencial natural.

Es messier a hacer lo mismo con $3$, pero el intervalo de $x=-1/6$ $x=0$va a hacerlo, y llegar a la conclusión de $3$ es demasiado grande para ser la base de la función exponencial natural.