¿Se puede equichordally subdivide cada curva?

Question

Esta pregunta construir en la parte superior de esta otra pregunta: la División de una curva en los acordes de igual longitud, para el cual escribí un (incompleta) de respuesta. Tengo la sensación de que necesitemos la ayuda de un real topologist. Permítanme repetir la crucial definiciones. Estamos tratando con curvas de $c:[0,1]\to\Bbb R^m$, lo que supone el continuo mapas.

Definición. Dada una curva $c:[a,b]\to\Bbb R^m$$n\in\Bbb N$, un equichordal subdivisión de $c$ a $n$ segmentos es una secuencia $t_i,i=0,...,n$ con $$a=t_0\leq t_1\leq\cdots\leq t_{n-1}\leq t_n=b, \qquad \|c(t_{i-1})-c(t_i)\|=\Delta,\quad \text{for all $i=1,...,n$}$$ y algunos la longitud de la cuerda $\Delta$.

Básicamente, esto significa que estamos buscando $n+1$ puntos sobre una curva (incluidos los extremos) a fin de que los vecinos de puntos, todos tienen la misma distancia Euclidiana $\Delta$ unos de otros. Ahora la gran pregunta es:

Pregunta: ¿Es siempre posible arbitrarias de las curvas de $c$ $n\in\Bbb N$ a equichordally subdividir $c$ a $n$ segmentos?

Parece que no es tan extraño suponer que esto podría ser. Sin embargo, observe los siguientes ejemplos para $n=3$. La subdivisión posible que no a todos los que siguen la forma de la curva o tendrá un aspecto similar a una subdivisión con la igualdad de longitudes de arco (para pequeñas $n$). La mayoría de las veces, para un determinado $n$ el final de la longitud de la cuerda $\Delta$ es bastante impredecible.

Más información para el lector interesado:

• En una de mis respuestas me dio una prueba de que sintió bien al principio, pero me citó un resultado incompleto. He utilizado esta declaración, a pesar de algunos de respuesta a continuación dio un buen contra-ejemplo. Actualmente no tengo idea de cómo justificar que esto no es ningún problema. También creo que mi prueba podría ser demasiado complicado, aunque demuestra una declaración más general (la existencia de una continua transición de un trivial de subdivisión a subdivisión de toda la curva).
• En esta respuesta Rahul dio una prueba para los casos de $n=2$$n=3$. Él (y ahora también de mí) tengo la sensación de que esto podría ser generalizable por alguien con suficiente experiencia en la topología (homotopy tal vez?). Yo realmente prefiero Rahul del enfoque por su simplicidad. Él incluso publicó una pregunta de seguimiento en ella más de aquí.
• Que yo sepa, no hay ninguna manera fácil para encontrar una subdivisión. Por lo suficientemente bien comportado curvas es posible elegir sólo algunos razonable subdivisión y mover los puntos un poco para ponerlos en el lugar correcto para equichordality. Sin embargo, esto se producirá en general. También, dado un equichordal subdivisión de algunos subcurve de $c$, es altamente no-trivial de "estirar" hasta cubrir la totalidad de la curva, mientras que sigue manteniendo la propiedad deseada. He encontrado contraejemplos para más fácil enfoques. Por ejemplo, la prueba de su procedimiento en los ejemplos dados anteriormente.
• Yo no he estudiado cualquier posible contra-ejemplos en dimensiones superiores. Yo sólo veía en el plano de curvas hasta ahora. No tengo ni idea de lo que podría esconderse allí.

Answer 1

Niels Diepeveen ayudado a mí llenar el vacío en mi incompleta prueba, que he eliminado de la pregunta original y se trasladó aquí porque se ajusta a esta pregunta de una manera mejor.

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Tomamos la curva de a $c:[0,1]\to\mathbb R^m$ y asumir que $c(0)\ne c(1)$ (de lo contrario trivial existe una solución). Una subdivisión en $n$ segmentos es determinado por su vector de intervalo de longitudes, $s=(s_1,\dots,s_n)$ donde $s_i=t_i-t_{i-1}$. El conjunto de todas válidas $s$ formularios de la norma simplex $$\Delta^{n-1}=\left\{(s_1,\dots,s_n):\sum_{i=1}^n s_i=1, s_i\ge 0\text{ for all }i=1,\dots,n\right\},$$ que es un $(n-1)$-dimensiones polytope incrustado en $\mathbb R^n$. De hecho, $\Delta^{n-1}$ se encuentra en el no negativo orthant $\mathbb R_+^n$ y su límite se encuentra en $\partial\mathbb R_+^n$: los vértices de la mentira en los ejes de coordenadas, $1$-caras (bordes) se encuentran en la coordenada $2$-aviones, y así sucesivamente.

Considere la función $d:\Delta^{n-1}\to\mathbb R_+^n$ asignación de los vectores de intervalo de longitudes de los vectores de cuerda de longitud, $$d(s)=(\|c(t_1)-c(t_0)\|,\dots,\|c(t_n)-c(t_{n-1})\|),$$ donde $t_i=\sum_{j=1}^i s_j$. Esta función es no negativa ($d(s)_i\ge 0$), no degenerada ($d(s)\ne0$ porque $c(t_0)\ne c(t_n)$), y mantiene el cero de coordenadas ($d(s)_i=0$ si $s_i=0$). Cero coordinar la preservación es la propiedad clave aquí: esto significa que, si bien $d$ puede transformar $\Delta^{n-1}$ en una arbitrariamente complicado, posiblemente la auto-intersección $(n-1)$-dimensiones de la superficie, no puede despegarse de su límite a partir de los rostros de $\partial\mathbb R_+^n$. Vértices aún se encuentran en los ejes de coordenadas, los bordes se vuelven curvas de la mentira en la coordenada $2$-aviones, y así sucesivamente.

Queremos demostrar que existe una $s\in\Delta^{n-1}$ de manera tal que todos los componentes de $d(s)$ son iguales. Equivalentemente, queremos mostrar que la superficie de la $d(\Delta^{n-1})$ cruza la línea de $\{(a,\dots,a):a\in\mathbb R\}$.

De izquierda a derecha: Una curva de $c([0,1])$, la correspondiente deformado simplex $d(\Delta^{n-1})$ $n=2$, $d(\Delta^{n-1})$ para $n=3$.

Reescalado $d(s)$, de modo que sus componentes se suma a $1$, se obtiene el mapa $$\hat d(s) = \frac{d(s)}{\sum_{i=1}^n d(s)_i},$$ que está bien definido y continuo debido a $d(s)$ nunca es cero. Es fácil comprobar que $\hat d$ mapas del simplex $\Delta^{n-1}$ a sí mismo; más aún, cero coordinar la preservación implica que $\hat d$ también se asigna a cada cara de $\Delta^{n-1}$ a sí mismo. Se puede demostrar el uso de Brouwer del teorema de punto fijo que dicha asignación debe ser surjective. Por lo tanto, existe un $s\in\Delta^{n-1}$ tal que $\hat d(s)=(\frac1n,\dots,\frac1n)\in\Delta^{n-1}$, que es equivalente al resultado deseado.

De hecho, hemos demostrado un poco más fuerte que el de la propiedad: Para cualquier vector no negativo de la longitud de la cuerda ratios $r=(r_1,\dots,r_n)$, podemos encontrar una subdivisión $s$ tal que $d(s)=ar$ algunos $a\in\mathbb R$.

Answer 2

He aquí un enfoque alternativo que podría trabajar en general. Uno puede ser capaz de razonar por inducción en $n$ usando una conexión argumento. Uno tendría que establecer la conexión de un cierto nivel, pero esto podría ser difícil.

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La proposición es bastante obvio para $n=1$. Supongamos que sabemos que la proposición de a $n\geq 1$, es decir, supongamos que sabemos que para cualquier (continuo, simple) de la curva de $\gamma:[0,1]\to\Bbb R^d$ (voy a tomar $d=2$) no existe $0\leq t_1\leq\cdots\leq t_n\leq1$ de manera tal que, si establecemos $t_0=0$$t_{n+1}=1$, $$\forall k\in\lbrace 1,\dots,n\rbrace,\quad\|\gamma(t_{k+1})-\gamma(t_{k})\|=\|\gamma(t_{k})-\gamma(t_{k-1})\|$$ Tenga en cuenta que desde $\gamma(0)\neq\gamma(1)$ por la no intersección, el $t_i$ realidad debe de ser diferentes, de modo que en la actualidad uno ha $0<t_1<\cdots< t_n<1$.

Ahora vamos a $c:[0,1]\to\Bbb R^d$ a (continua, simple) de la curva. Vamos a escribir los vectores $x\in\Bbb R^{m}$ $x_\bullet=(x_1,\dots,x_m)$ et nos definen $$T_{n+1}=\lbrace t_\bullet\in\Bbb R^{n+1}\mid 0\leq t_1\leq\cdots\leq t_n\leq t_{n+1}\leq1\rbrace$$ (de nuevo, escribimos $t_0=0$$t_{n+2}=1$) y, por $\theta\in[0,1]$, $$T_{n+1}^\theta=\lbrace t_\bullet\en T_{n+1}\mediados de t_{n+1}=\theta\rbrace\simeq\begin{cases}* & \text{if }\theta=0\\[3mm]\theta\cdot T_n & \text{if }\theta>0 \end{casos}$$ Consideremos la función $\varphi:T_{n+1}\to\Bbb R_+$ definido por la fórmula $$\varphi(t_\bullet)=\sum_{k=1}^{n}\Big[\|c(t_{k+1})-c(t_{k})\|^2-\|c(t_{k})-c(t_{k-1})\|^2\Big]^2$$ Observe que la suma de sólo va a $t_{n+1}$. Pongámonos $Z=\varphi^{-1}(0)$. Este es el conjunto de todos los equichordal subdivisiones que se inician en $c(0)$, pero puede terminar antes de $c(1)$, es decir, dejamos caer el requisito de que el último acorde de $c(t_{n+1}$ $c(1)$tiene la misma longitud que los otros acordes.

¿Qué podemos decir acerca de $Z$ ?

1. $Z$ es un subconjunto cerrado de $T_{n+1}$,
2. para cada $\theta\in[0,1]$, la $Z\cap T_{n+1}^\theta$ es no vacío,
3. en realidad, para cada $\theta\in(0,1]$, la $Z\cap T_{n+1}^\theta$ está incluido en el interior de $T_{n+1}^\theta$ (donde todas las desigualdades son estrictas).

El segundo punto de la siguiente manera a partir de la inducción : para cada $\theta\in[0,1]$ el (continua, simple si $\theta>0$, constante si $\theta=0$) de la curva de $$c^\theta:[0,1]\to\Bbb R^d,\;t\mapsto c(\theta t)$$ tiene un equichordal subdivisión con $n$ nodos.

Pregunta. Es $Z$ conectado ?

Supongamos que se fueron, a continuación, considerar las funciones $\Delta^L,\Delta^R:T_{n+1}\to\Bbb R_+$ definido por $$\Delta^L(t_\bullet)=\|c(t_1)-c(0)\|^2,\quad \Delta^R(t_\bullet)=\|c(1)-c(t_{n+1})\|^2$$ A continuación, en el punto de $t^0_\bullet=(0,0,\dots,0)\in Z$, $$\Delta^L(t_\bullet^0)=0\quad\text{and}\quad\Delta^R(t_\bullet^0)=\|c(1)-c(0)\|^2>0$$ mientras que para cada $t_\bullet^1\in Z\cap T_{n+1}^1\;(\neq\emptyset)$, $$\Delta^L(t_\bullet^1)>0\quad\text{and}\quad\Delta^R(t_\bullet^1)=\|c(1)-c(1)\|^2=0$$

Por lo tanto, la función continua $$\Delta^L-\Delta^R$$ interruptores de señal en $Z$. Si $Z$ estaban conectados, entonces existiría un punto donde las dos funciones coïncide, y a tal punto es exactamente un equichordal subdivisión.

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Aquí están algunos ejemplos de esto en el caso de $n=1$ ($n+1=2$). Considere la curva $c$ dibujado en el plano de la siguiente manera: La siguiente representa el $Z$ en este caso en particular : puede haber uno, dos o tres equichordal subdivisiones de $c$ con lo prescrito extremo y un nodo, y esta es la forma en que estas posibilidades se distribuyen :

El triángulo representa el $T_2$ en el plano, las líneas horizontales son las $T_2^\theta$ para los cuatro valores de $0<\theta<\theta'<1$. Que uno ve en este ejemplo, el conjunto de nivel de $Z$ es la ruta de acceso conectado. Hasta parece un colector ($c$ es bastante suave).

Answer 3

Un punto inicial para la recopilación de ideas:

Supongamos que $\gamma:[0,1]\mapsto\mathbb{R}^2$ es un inyectiva $C^2$ función. En tal caso, es un subsanables en la curva y hay un arco de longitud parametrización tal que $\gamma:[0,L]\mapsto\mathbb{R}^2$ todavía es un $C^2$ función y $$ \forall \ell\in[0,L],\qquad \int_{0}^{\ell}\left\|\dot\gamma(t)\right\|\,dt = \ell.$$ Podemos suponga $\gamma(0)=(0,0)$ sin pérdida de generalidad y conseguir que $$ \forall \ell\in[0,L],\qquad \ell=\int_{0}^{\ell}\left\|\dot\gamma(t)\right\|\,dt\geq \left\|\gamma(\ell)\right\| $$ a partir de la desigualdad de triángulo. Si tenemos en cuenta los puntos $$ P_0=\gamma(0),\quad P_1=\gamma\left(\frac{L}{n}\right),\quad P_2=\gamma\left(\frac{2L}{n}\right),\quad \ldots $$ todos los acordes entre puntos consecutivos tienen una longitud que es positivo (por la inyectividad y la $C^2$ restricción) y acotada arriba por $\frac{L}{n}$. Deje $c_1,c_2,\ldots,c_n$ la secuencia de esas longitudes. Sin moverse $P_0$ o $P_n$, que puede moverse a $P_1$ a lo largo de la $P_0 P_2$ arco en $\gamma$ de tal manera que $c_1=c_2$: es suficiente para que se cruzan $\gamma$ con la bisectriz perpendicular de la $P_0 P_2$ segmento. Si varias opciones son posibles, se puede tomar el nuevo $P_1$ punto que está más cerca de la edad $P_1$ punto. Luego de que puede moverse $P_2$ a lo largo de la $P_1 P_3$ arco y así sucesivamente. Después de que nos movemos $P_{n-1}$ reiniciamos en la dirección opuesta moviendo $P_{n-2}, P_{n-3},\ldots, P_1$, luego de nuevo a $P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}$. Si la varianza del conjunto de longitudes $\{c_1,\ldots,c_n\}$ disminuye en cada paso, la condición de $\gamma\in C^2$ asegura que $\gamma$ no se comportan muy mal, por lo tanto se espera que este proceso convergen a un equichordal de distribución.

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El siguiente enfoque parece ser mucho más eficaz: supongamos que $\gamma:[0,L]\to\mathbb{R}^2$ es un inyectiva $C^1$ curva con un arco de longitud parametrización. Para algunos $r>0$, vamos a $A(r)$ ser el punto más lejano de $P_0=\gamma(0)$, con respecto a la longitud de arco, de tal forma que hay un $n$-equichordal distribución a través de la $P_0 A(r)$ arco con los acordes que tienen una longitud de $r$. Igualmente, os $B(r)$ el punto más lejano de $\gamma(L)$, con respecto a la longitud de arco, de tal manera que el acorde de unirse a $\gamma(L)$ $B(r)$ tiene una longitud de $r$. Vamos a considerar los intervalos de $J_0=[0,\gamma^{-1}A(r)]$$J_1=[\gamma^{-1}B(r),L]$. Para valores pequeños de a $r$ son claramente distintos, ya que la longitud total de acordes consecutivos no puede superar la longitud de la curva considerada. Para grandes valores de $r$ son claramente superpuestos, puesto que, por hipótesis inductiva hay un $n$-equichordal distribución de la curva restringida al intervalo de $[0,L-\varepsilon]$. Si tiene continuidad (por desgracia, no siempre es así: es suficiente para considerar las curvas con un muy pequeño radio de curvatura en algún lugar) se deduce que para un cierto valor de $r$ tenemos $A(r)=B(r)$, por lo que es posible unirse a un $n$-equichordal distribución de la $P_0 A(r)$ arco con un acorde $B(r)\gamma(L)$ tener la misma longitud que las anteriores. Que conduce a una $(n+1)$-equichordal distribución de $\gamma$.

Este no es constructivo, pero el enfoque hagamos espacio suficiente para que otro acorde debe demostrar la reclamación bien, una vez que la falta de continuidad se ha solucionado el problema.

Answer 4

Este es demasiado largo para un comentario, no es una solución completa, sólo un esbozo de solución ...

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Creo que no debería ser demasiado difícil de probar lo siguiente :

Lema. Deje $c$ algunos $C^1$ curva parametrizada por longitud de arco. Existe alguna $N\gg 0$ tal que para todos los $n\geq N$ equichordal subdivisiones en $n$ pasos existir. Además, hay una canónico.

La idea sería que por el uniforme de la continuidad de la $\dot{c}$ $[a,b]$ existe $\delta>0$ de manera tal que en cada segmento de $[x,x+\delta]$$[a,b]$, la curva se desvía muy poco de la cuerda (es decir, la línea recta que une $c(x)$$c(x+\delta)$.

Así, por ejemplo, para cualquier $0\ll k<1$ muy cerca de $1$ existe $\delta>0$ tal que para todos los $a\leq x\leq y\leq b$,

$$|y-x|\leq\delta\implies k\cdot|y-x|\leq \|c(y)-c(x)\|\leq |y-x|$$

Deje $k$ estar muy cerca de $1$, e $\Delta\leq k\cdot \delta$. En cada segmento de $[x,x+\delta]\subset[a,b]$, no debe ser exactamente de otro punto de $y=y_x(\Delta)\in[x,x+\delta]$ tal que $$\|c(x)-c(y)\|=\Delta,$$ futhermore $y_x(\Delta)$ según continuamente en $x$$\Delta$. Uno podría entonces considerar, por cualquier impuesto la longitud de la cuerda $0<\Delta\leq k\delta$, la secuencia de tiempos en la $[a,b]$ construido como así : $x_0(\Delta)=a$, $x_{k+1}(\Delta)=y_{x_k(\Delta)}(\Delta)$ : finalmente (en términos explícitamente cuantificables en términos de longitud de arco y $\Delta$), esta secuencia no tendría sentido ya (porque uno se ejecuta fuera de la curva de viajar a lo largo), entonces uno de los conjuntos de $x_{k+1}=b$. Llame a $k_\Delta$ primera $k$ que $x_k(\Delta)=b$.

El punto es que las funciones $(]0,k\cdot \delta]\ni)\Delta\mapsto x_k(\Delta)$ será continua, débilmente en aumento, y va a satisfacer $$a=x_0(\Delta)< x_1(\Delta)< x_2(\Delta)<\cdots< x_{k_\Delta}(\Delta)=x_{k_\Delta+1}(\Delta)=\cdots=b$$ con cada $k$, $\lim_{\Delta\to 0}x_k(\Delta)=a$ y para $k$ lo suficientemente grande, $x_{k}$ constante igual a $b$ $\Delta$ cerca de $k\cdot\delta$.

Ahora tome $n\gg\frac1\delta$ : habrá un menor $\Delta_n$ tal que $x_n\equiv b$$[\Delta_n,k\cdot\delta]$ : esta $\Delta_n$ será el acorde de distancia en un equichordal subdivition de $c$ de la longitud de la $n$ con el tiempo subdivisión $$a=x_0(\Delta_n)< x_1(\Delta_n) < x_2(\Delta_n)<\cdots< x_{n}(\Delta_n)=b$$