Dos individuos caminan alrededor de una torre cilíndrica. Cuál es la probabilidad de que se vean?

Question

Sería de gran interés disponer no sólo de una solución rigurosa, sino también de una visión intuitiva de este sencillo pero muy difícil problema:

Exista una torre con forma de cilindro y cuya radio es A. Además, que esta torre esté rodeada por un carril peatonal cuya anchura es B. Ahora bien, hay dos individuos que están en el paseo; ¿cuál es la probabilidad de que puedan verse?

Answer 1

Sugerencia :

Por simetría, se puede suponer que el primer individuo está situado en el radio horizontal de la izquierda.

La superficie que puede ver es la parte del carril cortada por las tangentes a la torre. El área de esta superficie, $R(r)$ se puede calcular con un poco de trigonometría, como la suma de un sector anular, dos triángulos rectángulos y dos segmentos. Podemos utilizar un área reducida, es decir, la fracción de todo el anillo que es visible.

A continuación, hay que calcular el área media de esta zona para todas las posiciones del radio. Como suponemos un modelo de distribución uniforme, las posiciones deben ponderarse por la distancia al centro, ya que las circunferencias más largas tienen probabilidades más altas (dicho de otro modo, el elemento de área en coordenadas polares tiene un factor $r\,dr$ ).

$$P=\frac{\displaystyle\int_A^{A+B}R(r)\,r\,dr}{\pi((A+B)^2-A^2)}.$$

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La apertura del sector anular es $2\alpha=2\arccos\dfrac Ar$ .

Entonces la ecuación de una tangente:

$$(-r,0)+t(\sin\alpha,\cos\alpha).$$

El punto de tangencia viene dado por

$$t_t=r\sin A=\sqrt{r^2-A^2},$$

$$(x_t,y_t)=\frac Ar(-A,\sqrt{r^2-A^2}),$$

y la intersección con el círculo exterior, por

$$t_i=r\sin\alpha+\sqrt{r^2\sin^2\alpha+r\sin\alpha((A+B)^2-r^2)},$$ $$(x_i,y_i)=(-r,0)+t_i(\sin\alpha,\cos\alpha).$$

Un triángulo tiene la altura $B$ y base $t_i-t_t$ y un segmento tiene radio $A+B$ y ángulo de apertura

$$\arctan\frac{y_i}{x_i}+\pi-\alpha.$$

Calcular la integral parece una tarea tremenda.

Con $S$ el área del anillo,

$$SR(r)=\frac S\pi\arccos\frac Ar+B\sqrt{r^2-A^2+\sqrt{r^2-A^2}((A+B)^2-r^2)}+(A+B)^2\left(\beta-\sin\frac{\beta}2\right)$$ donde

$$\beta=\arctan\frac{\left(\sqrt{r^2-A^2}+\sqrt{r^2-A^2+\sqrt{r^2-A^2}((A+B)^2-r^2)}\right)\dfrac Ar}{-r+\left(\sqrt{r^2-A^2}+\sqrt{r^2-A^2+\sqrt{r^2-A^2}((A+B)^2-r^2)}\right)\dfrac{\sqrt{r^2-A^2}}r}\\+\pi-\arccos\frac Ar.$$

Suspiro.

Answer 2

Responderé a la versión del problema en la que cada persona estará en el borde exterior del carril. Puedes ver el problema como dos círculos concéntricos de radios $A$ y $A+B$ con dos puntos en el círculo exterior. Para la versión del problema en la que las personas pueden situarse en cualquier punto del carril, véase la excelente respuesta de Yves.

Si las dos personas están lo más separadas posible sin dejar de verse, su línea de visión es tangente al círculo de radio $A$ . Puesto que están situados en el exterior del carril, habrá un triángulo rectángulo formado por el punto tangente, la primera persona y el centro de los círculos; la hipotenusa es $A+B$ y una pierna es $A$ . Por lo tanto, el ángulo subtendido por las dos personas en el círculo exterior es $2 \arccos \frac{A}{A+B}$ . Por construcción, este es el ángulo más grande que las dos personas pueden subtenderse si quieren seguir viéndose.

Si la primera persona es fija (por ejemplo, si se condiciona a la ubicación de la primera persona) y la segunda persona es uniforme a lo largo del borde exterior del paseo, entonces la probabilidad de que la segunda persona esté dentro del ángulo $2 \arccos \frac{A}{A+B}$ de la primera persona es $\frac{1}{2\pi} \cdot 4 \arccos \frac{A}{A+B}$ .