¿Qué significa multiplicar diferenciales?

Question

Menudo lío con el cálculo multivariable, a menudo tienes expresiones para los diferenciales de área y volumen como esto $dA = dxdy$ o $dV = dxdydz$ que se supone que debemos aceptar porque tiene sentido, ya que si tomas un pedacito minúsculo de área/volumen parece un cuadrado blah blah.... Pero no logro entenderlo especialmente al hacer sustituciones en integrales. En cálculo de una sola variable tenía sentido, por ejemplo considera la integral $$\int f'(g) \frac{dg}{dx} dx = \int f'(g)dg = f(x) + c$$ esto tiene sentido ya que $f'(x) = g'(x)f'(g)$ por la regla de la cadena, pero al hacer una sustitución en una integral doble $$\int \int f(x,y) dx dy = \int \int f(u,v) \det(J)du dv$$ donde $$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}$$ ¿Cómo han concluido mágicamente que $dxdy$ (que en sí mismo no está explicado) es igual a $\det(J)dudv$? Esto me ha causado muchos problemas conceptuales y no he podido encontrar una explicación clara sobre por qué esto es así e incluso qué significa el término $dxdy$

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\Area}{Área}$Editar: En la respuesta original, fui un poco descuidado con el área firmada versus no firmada. La pregunta original implícitamente pregunta sobre el área firmada (es decir, el área donde importa la "mano" utilizada; $dv\, du = -du\, dv$), mientras que la mayoría de los enfoques en cálculo en varias variables tratan sobre el área no firmada (es decir, la "noción geométrica de contenido"; $|dv\, du| = |du\, dv|$).

El argumento a continuación se ajusta para incorporar consistentemente el signo. En particular, el plano "$(u, v)$" está orientado y $\Area$ se refiere en todo momento al área firmada. Algebraicamente, los argumentos pueden considerarse "no firmados" colocando signos de valor absoluto alrededor de los determinantes, eliminando los adjetivos "firmado" y "orientado" donde aparecen y interpretando $\Area$ como área no firmada.

---

Para dar una interpretación geométrica: Suponga que aplica un cambio de variables lineal $(x, y) = T(u, v)$ al plano: $$ \begin{aligned} x &= au + bv, \\ y &= cu + dv; \end{aligned} \quad\text{i.e.,}\qquad \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} u \\ v \\ \end{array}\right]. $$ Dado que $T$ es lineal, $T = dT(u_{0}, v_{0})$ para cada punto $(u_{0}, v_{0})$.

El rectángulo orientado $[u_{0}, u_{0} + \Delta u] \times [v_{0}, v_{0} + \Delta v]$, que tiene un área firmada de $\Delta u\, \Delta v$, se mapea a un paralelogramo cuyo área firmada es, según álgebra lineal, $$ (ad - bc)\, \Delta u\, \Delta v = \det(dT(u_{0}, v_{0}))\, \Delta u\, \Delta v. $$

Si en cambio usted cambio de variables $(x, y) = F(u, v)$ es continuamente diferenciable, la discusión anterior sigue siendo válida "aproximadamente en pequeñas escalas": El rectángulo orientado $[u_{0}, u_{0} + \Delta u] \times [v_{0}, v_{0} + \Delta v]$ a la izquierda se mapea a un cercano paralelogramo a la derecha cuyo área firmada es $$ \Area(F(R)) = \det(dF(u_{0}, v_{0}))\, \Delta u\, \Delta v + \text{error}, $$ con un error asintóticamente pequeño en valor absoluto en comparación con $\Delta u\, \Delta v$. Usando notación infinitesimal, esta situación se puede expresar diciendo que $$ \Area\bigl(F([u_{0} + du] \times [v_{0} + dv])\bigr) = \det dF(u_{0}, v_{0})\, du\, dv. $$

---

Para conectar esto con la integración, sea $D$ el rectángulo orientado a la izquierda, piense en una función continua y de valores reales $f$ definida sobre la región $F(D)$ a la derecha y considere el problema de expresar la integral como una integral sobre $D$ mismo. La fórmula de cambio de variables dice (asumiendo que $F$ es una a una) $$ \iint_{F(D)} f(x, y)\, dx\, dy = \iint_{D} f(F(u, v)) \det dF(u, v)\, du\, dv. $$ Esta es la suma de contribuciones infinitesimales del tipo \begin{align*} \iint_{F(R)} f(x_{0}, y_{0})\, dx\, dy &= f(F(u_{0}, v_{0})) \Area(F(R)) \\ &= f(F(u_{0}, v_{0})) \det dF(u, v) \Area(R) \\ &= \iint_{R} f(F(u_{0}, v_{0})) \det dF(u, v)\, du\, dv. \end{align*> (Si $R$ es suficientemente pequeño, las funciones continuas $f$ y $f \circ F$ son casi constantes.)

Imágenes análogas se mantienen en dimensiones arbitrarias (finitas).

Answer 2

La explicación pasa por la observación de que el símbolo $\mathrm d x\,\mathrm d y$ es en realidad el producto exterior de las formas diferenciales $\;\mathrm d x\wedge\mathrm d y$.

Dado que $\;\mathrm d x=\dfrac{\partial x}{\partial u}\mathrm d u+\dfrac{\partial x}{\partial v}\mathrm d v $, y de manera similar para $\;\mathrm d y$, obtenemos, siguiendo las reglas de cálculo del álgebra exterior: \begin{align} \mathrm d x\wedge\mathrm d y&=\biggl(\dfrac{\partial x}{\partial u}\mathrm d u+\dfrac{\partial x}{\partial v}\mathrm d v\biggr)\wedge\biggl(\dfrac{\partial y}{\partial u}\mathrm d u+\dfrac{\partial y}{\partial v}\mathrm d v\biggr)\\&=\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial u}\;\mathrm d u\wedge\mathrm d u +\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v}\;\mathrm d u\wedge\mathrm d v+\dfrac{\partial x}{\partial v}\dfrac{\partial y}{\partial u}\;\mathrm d v\wedge\mathrm d u +\dfrac{\partial x}{\partial v}\dfrac{\partial y}{\partial v}\;\mathrm d v\wedge\mathrm d v\\ &=\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v}\;\mathrm d u\wedge\mathrm d v-\dfrac{\partial x}{\partial v}\dfrac{\partial y}{\partial u}\;\mathrm d u\wedge\mathrm d v =\dfrac{\partial(x, y)}{\partial(u,v)}\;\mathrm d u\wedge\mathrm d v. \end{align}

Answer 3

En primer lugar, el papel del cambio de variables en integrales como la integral doble general que escribiste arriba introduce nuevas variables en términos de variables antiguas.

Explícitamente esto significa que estamos transformando de las coordenadas $(x, y)$ a las coordenadas $(u, v)$, y la transformación se da como variables 'antiguas en términos de nuevas'.

Es decir: $$x = x(u, v),\, \quad y = y(u, v)$$

Por lo tanto, si uno tiene un $f=f(x, y)$ inicial ahora buscamos $F(u, v)=f(u(x, y),v(x, y))$

Usando la Regla de la Cadena, se obtiene \begin{align} \frac{\partial f}{\partial u} &= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} \tag{1}\\ \frac{\partial f}{\partial v} &= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} \tag{2} \end{align} sin embargo, esto está muy bien, pero ¿qué sucede si la transformación a variables nuevas no es invertible? Bueno, podríamos formar lo siguiente \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \tag{3}\\ \frac{\partial f}{\partial y} &= \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} \tag{4} \end{align}

Tratando $(3),(4)$ como ecuaciones simultáneas en incógnitas $\partial f/\partial u$ y $\partial f/\partial v$ y reorganizando, se obtiene \begin{align} \frac{\partial f}{\partial u} &= \left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial x}{\partial v}\right)/\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}\right) \tag{5}\\ \frac{\partial f}{\partial v} &= \left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}\right)/\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}\right) \tag{6} \end{align} El denominador es de una importancia muy especial. Es el Jacobiano. Usualmente denotado como \begin{align} J(u, v) &= \left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}\right) \\ &= \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \\ \end{vmatrix} \\ &= \frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} \end{align} Importante, si $(u, v)$ y $(x, y)$ son funcionalmente independientes entonces $J \neq 0$.

Por lo tanto, todo esto se trata de diferenciación, pero el papel del Jacobiano en integrales múltiples surge de la misma manera. La transformación de una región en el plano $xy$ a otra en el plano $uv$ nos obliga a definir qué queremos decir con una pequeña porción infinitesimal de área en las variables nuevas que surgen de las antiguas.

Simbólicamente uno tendría que redefinir un nuevo elemento de área rectangular (en el límite, por simplicidad), para que podamos evaluar una integral múltiple sobre esta nueva área en nuevas coordenadas.

Simbólicamente esto es $$dA = |d \mathbf{u} \times d \mathbf{v} |$$

Usando $\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}}$ y $\hat{\mathbf{k}}$ como vectores unitarios en las direcciones $x, y$ y $z$, se obtiene \begin{align} d \mathbf{u} &= \frac{\partial x}{\partial u}du \hat{\mathbf{i}}+ \frac{\partial y}{\partial u}du \hat{\mathbf{j}} \\ d \mathbf{v} &= \frac{\partial x}{\partial v}dv \hat{\mathbf{i}}+ \frac{\partial y}{\partial v}dv \hat{\mathbf{j}} \end{align} Al tomar el producto cruz entre estos se obtiene, $$d \mathbf{u} \times d \mathbf{v} = \hat{\mathbf{k}}\left(\frac{\partial x}{\partial u}du \frac{\partial y}{\partial v}dv-\frac{\partial x}{\partial v}du \frac{\partial y}{\partial u}dv \right)$$ Dado que $\hat{\mathbf{k}}$ es un vector unitario, al tomar el módulo de arriba se obtiene, $$d A = \Big |\frac{\partial (x,y)}{\partial (u, v)}\Big |dudv$$

Por esto, tanto en diferenciación como en integración múltiple, cuando se considera la transformación de sistemas de coordenadas, el Jacobiano surge en ambos casos.