He aquí una respuesta a la segunda y tercera preguntas.
La tercera pregunta tiene una respuesta general: En cualquier grupo, el núcleo de la abelianization (es decir, el conjunto de homologically trivial elementos del grupo) es generado por los conjugados de los conmutadores de cualquier set de generación de energía.
Para la segunda pregunta, la reclamación se informó de que la lectura es difusa y, por lo tanto inexacta. La afirmación correcta es que si un elemento $\gamma \in \pi_1(F)$ puede ser representado por un homologically trivial curva cerrada simple, entonces existe una automorphism $\Phi : \pi_1(F) \to \pi_1(F)$ tal que $\Phi(\gamma)$ es uno de los generadores estándar.
Para probar esto, en primer lugar, cada uno de los generadores estándar está representado por un nonseparating simple curva cerrada.
Segundo, la simple y cerrada curva que representa a $\gamma$ es nonseparating (de lo contrario, la homología de la clase es trivial).
En tercer lugar, para cualquiera de los dos nonseparating simple curvas cerradas $c,d$ pasando a través del punto de base existe un homemorphism $\phi : F \to F$ tomando de base de punto a punto tal que $\phi(c)=d$. Esto es cierto porque las $F-c$ $F-d$ son homeomórficos (una fácil aplicación de la clasificación de las superficies), y un homeomorphism entre ellos se puede encontrar que se extiende más de $c$ $d$ a ser un homeomorphism de $F$ que se lleva a base de punto a punto base.
Finalmente, el deseado automorphism $\Phi$ está representado por el homeomorphism $\phi$.
