Cuál es la probabilidad que el circumcircle de 3 puntos

Question

María recoge cualquier tres puntos no colineales dentro de un círculo dado, ¿cuál es la probabilidad que el circumcircle de estos 3 puntos se cubrirán por el círculo original?

Se trata de una pregunta de prueba hace unos meses. Me dieron el resultado es $\frac{1}{\pi}$, no sé mi resultado derecho. ¿Qué enfoques crees que pude tomar para resolver el paso?

Answer 1

La probabilidad $P$ buscamos es $\frac{2}{5}$.

WOLOG, elegir el sistema de coordenadas de modo que nuestro círculo de $\mathcal{C}$ es el círculo unitario con centro en el origen.
Vamos

• $\mathcal{S}$ ser un gran cuadrado de lado $L$ con centro en el origen.
• $A$, $B$, $C$ tres puntos al azar seleccionados de manera uniforme en el interior de las $\mathcal{S}$.
• $\mathcal{E}(A,B,C)$ ser la condición de la circunferencia circunscrita por el triángulo ABC, cae dentro de $\mathcal{C}$".

Está claro que la probabilidad de $P$ buscamos es igual a la probabilidad condicional

$$P = {\bf Pr}\left[\;\mathcal{E}(a,B,C) \mediados de los a,B,C \in \mathcal{C}\;\right] = \frac{{\bf Pr}\left[\; \mathcal{E}(a,B,C)\; \de la tierra a,B,C \in \mathcal{C} \;\right]}{{\bf Pr}\left[\; a, B, C \in \mathcal{C}\; \right]} $$

Aviso si $\mathcal{E}(A,B,C)$ es verdadera, entonces el $A, B, C \in \mathcal{C}$. Esto lleva a

$$P = \frac{{\bf Pr}\left[\;\mathcal{E}(a,B,C)\;\right]}{{\bf Pr}\left[\; a, B, C \in \mathcal{C}\; \right]} = \frac{L^6}{\pi^3}{\bf Pr}\left[\;\mathcal{E}(a,B,C)\;\right] $$ Para calcular la probabilidad de RHS de la última expresión, tenga en cuenta las siguientes parametrización para $A, B, C$.

$$[ 0,\infty )^2 \times [0,2\pi)^4 \ni ( \rho, r, \theta, \alpha, \beta \gamma ) \quad\mapsto\quad \begin{cases} A &= \rho (\cos\theta,\sin\theta) + r( \cos\alpha, \sin\alpha )\\ B &= \rho (\cos\theta,\sin\theta) + r( \cos\beta, \sin\beta )\\ C &= \rho (\cos\theta,\sin\theta) + r( \cos\gamma, \sin\gamma) \end{casos}$$ Geométricamente, $\rho(\cos\theta,\sin\theta)$ es el circuncentro y $r$ es el circunradio para el triángulo $ABC$. Con un poco de álgebra, uno puede mostrar que $$dAdBdC = |\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha)| \rho r^3 d\rho dr d\phi d\alpha d\beta d\gamma$$

En términos de esta parametrización, la condición de $\mathcal{E}(A,B,C)$ simplemente se convierte en $\rho + r \le 1$.

Deje $u = \alpha - \beta, v = \beta - \gamma$ y $$\begin{align} \Phi(u,v) &= \sin(u) + \sin(v) - \sin(u+v)\\ &= \sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha) \end{align}$$ Integrar sobre $\phi, \gamma$ primero y, a continuación,$\rho, r$, obtenemos: $$ \begin{align} P &= \frac{L^6}{\pi^3} \int_{\mathcal{E}(A,B,C)} \frac{dA dB dC}{L^6}\\ &= \frac{(2\pi)^2}{\pi^3} \left[\int_0^1 \rho \left( \int_0^{1-\rho} r^3 dr \right) d\rho \right] \left[\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} |\Phi(u,v)| du dv\right]\\ &= \frac{1}{30\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |\Phi(u,v)| du dv \end{align} $$ Aviso

• $\Phi(-u,-v) = -\Phi(u,v)$,
• $\Phi(u,v) = \Phi(v,u)$
• $\Phi(u,v)$ tiene el mismo signo de $v$$0 \le |v| \le u \le \pi$.

Podemos dividir la región de integración para la última integral en 4 trozos iguales y obtenemos:

$$\begin{align} P &= \frac{2}{15\pi}\int_0^{\pi} \int_{-u}^u |\Phi(u,v)| dv du\\ &= \frac{2}{15\pi}\int_0^{\pi} \int_0^u (\Phi(u,v) - \Phi(u,-v)) dv du\\ &= \frac{2}{15\pi}\int_0^{\pi} \int_0^u 2\sin v ( 1 - \cos u) dv du\\ &= \frac{4}{15\pi}\int_0^{\pi} (1-\cos u)^2 du\\ &= \frac{2}{5} \end{align} $$

Answer 2

Resulta que esta pregunta se ha hecho antes en la web y Giaolino ha dado una respuesta de yahoo hace 4 años. La probabilidad de que también es $\frac25$.

La siguiente es mi reformateo de su respuesta para una fácil referencia. Todos formatear errores va a ser el mío. He de hacer de esta respuesta un wiki de la comunidad. Si alguien detecta algún error en este cambio de formato, por favor siéntase libre de solucionarlo.

Deje $E$ es ser un conjunto de tripletas $A,B,C$ de manera tal que la circunferencia circunscrita se encuentra en la unidad de disco $D = D(O,1)$.

Queremos mostrar que $\int_E dA dB dC = \frac25 \pi^3$.

Deje $R$ el radio de la circunferencia circunscrita de $ABC$ $G$ su centro.

Reparamos $A$ y hacemos un cambio de variables. Suponemos que a $B,C$ tienen coordenadas polares $(r_b, t_b)$, $(r_c, t_c)$ con $A$, en el origen. Por lo $r_b = |AB|$ y $r_c = |AC|$, $t_b = \angle(Ax, AB)$, $t_c = \angle(Ax,AC)$.

Vamos a cambiar las variables y el uso de $G$, $s_b = \angle(Gx,GB)$, $s_c = \angle(Gx,GC)$ como las nuevas variables, $G$ tener coordenadas polares $(r_g,t_g)$$A$, en el origen.

Vamos a calcular el Jacobiano de ir de$(r_b,t_b,r_c,t_c)$$(R,t_g,s_b,s_c)$.

Tenemos las siguientes fórmulas, en las que no necesitamos que preocuparse acerca de los signos ya que sólo vamos a utilizar el valor absoluto del determinante. Son una consecuencia de la mitad de ángulo de la propiedad en el círculo.

$$\begin{align} r_b &= 2 R \sin\left(\frac{t_g + \pi - s_b}{2}\right) = 2 R \cos\left(\frac{t_g - s_b}{2}\right)\\ r_c &= 2 R \cos\left(\frac{t_g - s_c}{2}\right)\\ t_b &= \frac{t_g + \pi + s_b}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{t_g + s_b}{2} + \pi\\ t_c &= \frac{t_g + s_c}{2} + \pi.\\ \end{align}$$

Las derivadas parciales son

$$\begin{bmatrix} 2 \cos\left(\frac{t_g - s_b}{2}\right) & -R \sin\left(\frac{t_g - s_b}{2}\right) & R \sin\left(\frac{t_g - s_b}{2}\right) & 0 \\ 2 \cos\left(\frac{t_g - s_c}{2}\right) & -R \sin\left(\frac{t_g - s_c}{2}\right) & 0 & R \sin\left(\frac{t_g - s_c}{2}\right) \\ 0 & \frac12 & \frac12 & 0\\ 0 & \frac12 & 0 & \frac12\\ \end{bmatrix}$$

El Jacobiano es $R \sin\left(\frac{s_b - s_c}{2}\right) = \frac12 |BC|$.

Por lo que $$\begin{align} dB dC &= |AB| |AC| dr_b\,dt_b\,dr_c\,dt_c = \frac12 R |AB| |AC| |BC| dR\,dt_g\,ds_b\,ds_c\\ &= \frac12 |AB| |AC| |BC| dG\,ds_b\,ds_c \end{align} $$ donde en el final de la línea regresamos a coordenadas cartesianas para $G$.

Ahora podemos intercambiar el orden de integración, revisión G y tomar en coordenadas polares con G como el origen.

A continuación, $\frac12 |AB| |AC| |BC| dA,dG,ds_b,ds_c$ vuelve $\frac12 |AB| |AC| |BC| dR\,dG\,ds_a\,ds_b\,ds_c$.

Nos dirigimos a coordenadas polares en $G$. Set $r = |OG|$ $g = \angle(Ox, OG)$

Simplificamos $s_a,s_b,s_c$ $a,b,c$ y estamos reducidos a

$$\frac12 \left(8 R^3 \left| \sin\left(\frac{a-b}{2}\right) \sin\left(\frac{b, c}{2}\right) \sin\left(\frac{c}{2}\right) \right| \right) r\,dR\,dr\,dg\,da\db\,dc$$

con las condiciones $r>0$, $R>0$ y $r+R < 1$, e $a,b,c,g \in [0,2\pi]$.

$(R,r)$ $(a,b,c,g)$ pueden ser separados.

La integral en $(R,r)$ da $1/120$.

Nos pusimos $u = a - b$, e $v = b - c$. El angular de la integral se puede escribir como

$$\left|\sin\left(\frac{u}{2}\right) \sin\left(\frac{v}{2}\right) \sin\left(\frac{u+v}{2}\right)\right| dg\,da\,du\,dv$$

Las variables $a$ $g$ puede ser sacado dando un factor de $4 \pi^2$.

Hasta ahora hemos $\frac{8}{240}(4 \pi^2) = \frac{2}{15}\pi^2$.

Así que nos quedamos con la que muestra que

$$\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \left|\sin\left(\frac{u}{2}\right) \sin\left(\frac{v}{2}\right) \sin\left(\frac{u+v}{2}\right)\right| du dv = 3 \pi$$ que es sencillo.