La existencia de anomalías es casi siempre acompañado por una extensión del grupo gauge relaciones de conmutación. En el caso de que no se Abelian axial anomalía se puede ser el caso más conocido.
El resumen de calibre grupo de álgebra:
$ [G_a(x), G_b(y)] = if_{ab}^{c} \delta^N(x-y)$
($N$ es el número de dimensiones), que no se dio cuenta en el campo cuántico nivel
Al $N=1$, se obtiene la central de Kac-Moody extensión:
$ [G_a(x), G_b(y)] = if_{ab}^{c} \delta(x-y) + \frac{ik}{2\pi} \delta_{ab} \delta^{'}(x-y)$
Por extraño $N>1$, uno recibe una (no central) Abelian extensión. Para $N=3$, la extensión se llama: "El Mickelsson-Faddeev" extensión (a veces la Mickelsson-Faddeev Shatashvili extensión) (Mickelsson del artículo original , Faddeev del artículo original ):
$ [G_a(x), G_b(y)] = if_{ab}^c \delta^3(x-y) + \frac{ik}{24 \pi^2}d_{abc} \epsilon_{ijk} \partial_i A_{cj}(x) \partial_k \delta^{3}(x-y)$
($d_{abc} = \mathrm{tr}(T_a \{T_b, T_c\})$). Como puede verse esta extensión depende explícitamente de un fondo medidor de campo $A_j(x) $ y no es central (no conmuta con el grupo gauge generadores), ya que el medidor de campo no es invariante gauge:
$ [G_a(x), A_{bi}(y)] = if_{ab}^{c} A_{ci}(x) \delta^3(x-y) + i \delta_{ab} \partial_i \delta^{3}(x-y)$
Estas extensiones son nacidos debido a la exigencia de renormalization, la elaboración de productos de operadores de mal definidos. Sin embargo, las extensiones no dependen del tipo de la adopción de la regularización.
En el Kac-Moody (y también la Virasoro) caso, es bien sabido que la extensión es esencial para llegar unitario irreductible energía positiva representaciones del álgebra, la cual permite que la mecánica cuántica
la interpretación de los espectros. En el Mickelsson-Faddeev caso, sin embargo, ninguna de estas representaciones son conocidos. De hecho, hay un teorema por
Pickrell, que casi cierra de golpe la puerta en la búsqueda de tales representaciones.
Hay una serie de obras de Juoko Mickelsson, tratando de entender esta extensión por medio de un infinito dimensional de la teoría de la representación, por favor, consulte este trabajo por Mickelsson y las referencias allí contenidas.
La no-Abelian quirales anomalía es muy bien entendido de manera algebraica y topoplogically, por favor consulte la siguiente revisión por R. A. Bertlmann. En el ejemplo siguiente ecuación (38) en el artículo, todas las cantidades asociadas con la no-Abelian quirales anomalía son algebraicamente computarizada (sin la solución de los diagramas de Feynman) a través de lo que se llama el Stora-Zumino descenso de ecuaciones.
Estas ecuaciones dan en el primer nivel de la Chern-Simons plazo, en el segundo nivel, la anomalía (divergencia de la corriente), en el tercer nivel, la extensión en el grupo gauge relaciones de conmutación y en el cuarto nivel, el asociador causante de la violación de los Jacobi-identidad, de lo que resulta un no álgebra asociativa (por favor, consulte el siguiente relacionados con la física de intercambio de la pila pregunta).
He mencionado, el descenso de las ecuaciones, porque no es un concepto moderno de gerbes tratando de encontrar geométricas realización de estas ecuaciones (consulte también la siguiente Mickelsson de la revisión). Esta dirección de la investigación tiene el potencial de proporcionar más profundo
la comprensión de lo que son los cuántica estructuras que debemos asociar a estas álgebras (interpretado como clásica álgebras de los corchetes de Poisson) debido a que la habitual de Hilbert espacios y unitaria de las representaciones no parecen funcionar. El Mickelsson-Faddeev álgebra fue ampliamente analizado dentro de la teoría de gerbes, por favor véase, por ejemplo, este trabajo por Hekmati, Murray, Stevenson y Vozzo (y también la de arriba Micklsson de referencia).
