El uso de log en la densidad media de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann (parte 2)

Question

Como parte de mi maestría, estoy revisando un artículo. El artículo es una revisión sobre la distribución estadística de los ceros desplegados (ver más abajo) de la ecuación funcional de Reimann. En el artículo hay una frase:

El la densidad media de los ceros no triviales aumenta logarítmicamente con altura $t$ hasta la línea crítica. En concreto, la definición de ceros desdoblados por $$ w_n = t_n \frac{1}{2\pi}\log{\frac{t_n}{2\pi}} $$ se sabe que $$ \lim_{W\rightarrow \infty}\frac{1}{W}\#\{w_n < W\} = 1 $$

Aquí se supone que la hipótesis de Riemann es verdadera. Es decir, $\zeta{(1/2 + it)} = 0$ tiene soluciones no triviales sólo cuando $t=t_n \in \mathbb{R}$ .

John Bentin, amablemente, ha explicado que, intuitivamente, esto significa que, si "estiráramos" la línea crítica, con el grado global de estiramiento aumentando logarítmicamente a medida que avanzamos por la línea, separaríamos los ceros de forma que la distancia media entre ellos se mantuviera constante a lo largo de la línea. Sin este estiramiento, los ceros tienden a agruparse más estrechamente a medida que avanzamos por la línea, y la densidad global de agrupación aumenta logarítmicamente. La forma continua del factor de estiramiento puede expresarse como $$\dfrac{1}{2\pi}\ln\dfrac{t}{2\pi}$$ en la altura $t$ .

Así que mi pregunta de seguimiento es ¿el uso del logaritmo proviene del teorema del número primo?

Por favor, tened en cuenta que estoy en mi primer módulo de teoría analítica de números, así que por favor, lanzad cualquier ayuda en consecuencia.

Answer 1

Me hice la misma pregunta quince años antes. A ver si ahora tengo una respuesta mejor.

Busquemos primero la fuente del $\dfrac x{\ln\,x}$ término de la PNT en este derivación de las fórmulas explícitas de Riemann (de $(11)$ volver a $(9)$ y arriba...).

Obtenemos $\quad\displaystyle\pi(x)\sim R(x)\sim\operatorname{li}(x)\sim \frac x{\ln\,x}\quad$ como $\;x\to +\infty\quad$ de la PNT.
El efecto de los ceros no triviales es cambiar esta curva muy suave en la función escalera que representa los primos reales como se muestra en Sitio de Matthew Watkins (con una animación que muestra el efecto de los ceros adicionales al final).

Más exactamente las pruebas PNT (como Newman's ) muestran la equivalencia en el infinito entre el segunda función de Chebyshev $\psi(x)$ y $x$ : $$\psi(x)\sim x\quad\text{as}\ \ x\to +\infty$$

Pero $x$ es el término dominante de $(6)$ (detalla una animación en este enlace ) : $$\tag{6}\psi^*(x)=x-\sum_{\rho} \frac {x^{\rho}}{\rho}-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)},\quad(x>1)$$ y se obtuvo calculando el residuo en $s=1$ de $(5)$ : $$\tag{5}\psi^*(x)=-\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\frac{x^s}s\,ds$$ De hecho, como $s\to 1$ tenemos $\;\displaystyle-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\frac{x^s}s\sim \frac{s-1}{(s-1)^2}x\sim \frac x{s-1}\;$ para que el residuo en $s=1$ será simplemente $x$ .

Nos quedamos con la sorprendente observación de que el $\dfrac x{\ln\,x}$ término de la PNT proviene del polo simple de $\zeta(s)$ en $s=1$ : $$\tag{4}\zeta(s)=\frac 1{s-1}+\gamma+O\left(\frac 1s\right)$$

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Ahora veamos el otro lado: el distribución de los ceros zeta .

Esta vez encontramos que el número de ceros viene dado por : $$\tag{3}N(T)=\frac 1{2\pi i}\int_{\partial R}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}ds=\frac {\theta(T)}{\pi}+O(\log T)$$ El Función theta de Riemann-Siegel $\theta(t)$ es menos el argumento de $\zeta\,$ en la línea crítica : $$\tag{2}\zeta\left(\frac 12+it\right)=Z(t)\;e^{-i\theta(t)}$$ La función $Z(t)$ dando los ceros no triviales es real y complicado mientras que menos el argumento $\;\displaystyle\theta(t):=\arg\left(\Gamma\left(\frac{2it+1}4\right)\right)-\frac{\log{\pi}}2t\quad$ es regular con una expansión simple : $$\tag{1}\theta(t)\sim \frac t2\log\frac t{2\pi}-\frac t2+\frac {\pi}8+\frac 1{48t}+\cdots$$ Dividiendo esto por $\pi$ da de hecho $N(T)$ y la repartición deseada a primer orden.

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La comparación de estos dos resultados muestra que una integral de contorno que contiene $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ se utilizó en ambos casos, pero se mantuvo una parte diferente al final :

• el poste en $\zeta(1)$ para la PNT cuyas pruebas analíticas utilizan el hecho (son equivalentes a) $\zeta(1+it)\neq 0$ para cualquier valor real de $t$ .
• el argumento de $\zeta\left(\frac 12+it\right)$ en la línea crítica del segundo (la fórmula de $\theta(t)$ se obtuvo utilizando el ecuación funcional para $\zeta\;$ ).

Pero la reflexión no tiene por qué detenerse en este punto, ¡ni las líneas! :-)