Sé que podemos añadir cualquier fila a cualquier otra en un determinante y su valor sigue siendo el mismo. Esto es bastante claro ya que las matrices elementales correspondientes a las operaciones de filas y columnas tienen determinante 1.
¿Existe una explicación de este hecho en términos de ideas geométricas como el volumen y las transformaciones lineales?
Piensa en el área de un rectángulo (ABCD en la figura). Ahora, toma uno de los lados del rectángulo (DC) y desplázalo a lo largo de la línea sobre la que se encuentra, de modo que los lados no paralelos al que se desplaza se inclinen en un ángulo cada vez más agudo (DC $\to$ FE). Este proceso altera la forma de la figura en un paralelogramo, pero no altera el área de la figura.
Esa es exactamente la operación que se hace cuando se suma una de las filas multiplicada por un factor a otra fila del determinante. Las filas (o columnas) corresponden a los vectores $\vec{AD}$ y $\vec{AB}$ . Si añade $\vec{DF}$ a $\vec{AD}$ se obtiene la nueva fila $\vec{AF}$ . Así, el determinante representa ahora el área del paralelogramo, que es la misma que la del rectángulo.
Esto se generaliza a dimensiones más altas.
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