En muchos libros, un recubrimiento étale (utilizado para definir el grupo fundamental étale) de un esquema $X$ se define como $f:Y\rightarrow X$ , donde $f$ es un morfismo étale finito.
En otros libros, $f$ debe ser un surjective morfismos de estado finito.
¿Por qué tenemos dos definiciones diferentes?
La mejor definición es la que hace no exigen que un recubrimiento etéreo sea sobreyectivo.
He aquí algunas razones:
1) La definición original en SGA 1 (Définition 4.9,page 5) de Grothendieck y sus estudiantes no requiere que las coberturas étale sean surjetivas.
2) La navaja de Occam: no introducir condiciones extrañas que no parecen servir para nada.
3) Las cubiertas de Étale en geometría algebraica deben ser análogas a las cubiertas finitas en topología.
Pero las coberturas en topología no deberían asumirse como sobreyectivas: este es, por ejemplo, el punto de vista de Bourbaki en su nuevo volumen sobre Topología Algebraica (ver página 68).
4) Aquí al final de la página 2 está el argumento de Chambert-Loir, expresado en la forma más elevada de la poesía francesa, el alexandrine .
La interpretación lamentablemente prosaica de su argumento es que exigir la subjetividad destruiría la equivalencia de categoría entre las cubiertas étale y $\pi_1$ -sets.
Chambert-Loir califica diplomáticamente de "étrange", que significa "extraño", la incorporación de la subjetividad en la definición de las cubiertas étale.
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