Símbolo de Legendre, segunda ley complementaria

Question

$$\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}$$ cómo obtuvieron el exponente. Puede ser del lema de Gauss, pero cómo.

Supongamos que tenemos a = 2 y p = 11. Entonces n = 3 (6,8,10), pero no $$15 = (11^2-1)/8$$

n es una forma de calcular los símbolos de Legendre a partir del lema de Gauss: $$\left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^n$$

Answer 1

No sé cómo ha llegado tu fuente al exponente, pero te diré una de mis formas elementales favoritas de llegar a él. añadido a posteriori: probablemente sea la forma elemental a la que aludía André

Dejemos que $s = \frac{p-1}{2}$ y considerar el $s$ ecuaciones

$$\begin{align} 1&= (-1)(-1) \\ 2&=2(-1)^2 \\ 3&= (-3)(-1)^3 \\ 4&= 4 (-1)^4 \\ & \quad\quad \ldots\\ s&= (\pm s)(-1)^s \end{align}$$

Donde el signo se elige siempre para tener el signo resultante correcto.

Ahora multiplica el $s$ ecuaciones juntas. Claramente a la izquierda tenemos $s!$ . A la derecha, tenemos un $2,4,6,\dots$ y algunos números negativos de impar. Pero tenga en cuenta que $2(s) \equiv -1 \mod p$ , $2(s-1) \equiv - 3 \mod p$ y así sucesivamente, de manera que los números negativos son el resto de los números pares mod $p$ pero disfrazado. Así que el lado derecho contiene $s! (2^s)$ (donde intuimos que esto significa que un dos va a cada uno de los términos del factorial, para representar los números pares $\mod p$ ).

Sólo tenemos en cuenta $(-1)^{1 + 2 + \ldots + s} = (-1)^{s(s+1)/2}$ a la izquierda.

Uniendo todo esto, obtenemos que $2^s s! \equiv s! (-1)^{s(s+1)/2} \mod p$ o al cancelar los factoriales que $2^s \equiv (-1)^{s(s+1)/2}$ . Y $s(s+1)/2 = (p^2 - 1)/8$ , por lo que realmente tenemos $2^{(p-1)/2} \equiv (-1)^{(p^2 - 1)/8}$ .

Answer 2

En efecto, se puede utilizar el lema de Gauss, aunque hay un enfoque más elemental que juega con los factoriales y utiliza el criterio de Euler.

El $(p^2-1)/8$ tiene un aspecto excesivamente misterioso. El teorema "real" es que $2$ es un residuo cuadrático de $p$ si $p\equiv \pm 1\pmod{8}$ y es un no-residuo si $p\equiv \pm 3\pmod{8}$ .

No es difícil comprobar que si $p\equiv \pm 1\pmod{8}$ entonces $(p^2-1)/8$ es par, y que si $p\equiv \pm 3\pmod{8}$ entonces $(p^2-1)/8$ es impar. Así que tomando $-1$ al poder $(p^2-1)/8$ da la respuesta correcta para el símbolo de Legendre $(2/p)$ .

Detalle: Si $p=8k\pm 1$ entonces $p^2-1=64k^2\pm 16k$ Así que $(p^2-1)/8=8k^2\pm 2k$ incluso. Si $p=8k\pm 3$ entonces $p^2-1=64k^2\pm 48k+8$ Así que $(p^2-1)/8=8k^2\pm 6k+1$ , impar.

Demostración a partir del lema de Gauss: Si $1\le j\le (p-1)/2$ entonces $2\le 2j\le p-1$ . Sea $N$ sea el número de enteros del conjunto $A=\{2,4,\dots,p-1\}$ que son mayores que $p/2$ . Entonces, por el lema de Gauss, $(2/p)=(-1)^N$ . Ahora $2j \lt p/2$ si $j \lt p/4$ .

(i) Si $p=8k+1$ entonces $j\lt p/4$ equivale a $j \lt 2k+\frac{1}{4}$ . Hay $2k$ enteros que satisfacen esta última desigualdad. Dado que $A$ contiene $(p-1)/2=4k$ se deduce que $N=4k-2k=2k$ . Así que $N$ es par, y por lo tanto $(2/p)=1$ .

Los otros tres casos utilizan el mismo tipo de razonamiento. Si (ii) $p=8k+3$ (iii) $p=8k+5$ o (iv) $p=8k+7$ entonces $N$ es respectivamente (ii) $(4k+1)-2k=2k+1$ (iii) $(4k+2)-(2k+1)=2k+1$ o (iv) $(4k+3)-(2k+1)=2k+2$ . Así que en lo que nos queda de $3$ casos, $N$ es incluso sólo en el caso $8k+7$ . El resto se deduce por el lema de Gauss.