Un homotopy esfera

Question

Mi pregunta es parte de un ejercicio de Hatcher 'Topología Algebraica'.

Considere la posibilidad de un CW complejo de $X$, construido a partir de un círculo y dos de 2 discos de $e_2$$e_3$, que se adjunta a ese círculo por los mapas de grado 2 y 3, respectivamente. Puede alguien demostrar que $X$ es homotopy equivalente a una 2-esfera? Sus 2 homología es generado por $3e_2 - 2e_3$, por lo tanto, esta homotopy equivalencia $S^2 \to X$ debe ser de al menos de 2 a 1, en un punto genérico.

Es fácil para la construcción de mapas $S^2 \overset{f}{\to} X \overset{g}{\to} S^2$ que tienen un grado uno, de ahí que componen a homotopy identidad, pero estoy muy pegado con $X \overset{g}{\to} S^2 \overset{f}{\to} X$... hay una buena explicación de por qué esto debería ser homotopy identidad?..

Answer 1

Después de colocar el primer disco con un mapa de grado 2, que tiene un plano proyectivo, donde el círculo original puede ser pensado como no contráctil del bucle. Se adjunta el segundo disco de un mapa de grado 3, pero este es el plano proyectivo, por lo que podemos homotopy la fijación de mapa a uno de grado uno. Así que pegamos un disco en el círculo original.

Pero ahora podemos invertir los papeles, y homotopy el original adjuntar mapa. Ahora estamos adjuntando un disco en un disco cerrado por un mapa de grado 2, pero un disco cerrado es contráctil, por lo que podemos homotopy la colocación del mapa a cualquier bucle, en particular, a un mapa de grado uno. Esto nos da una esfera.

Todo esto es con la proposición 0.18 de Hatcher, como libros sugeridos en los comentarios.