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Todo, |f(z)|1+|z| implica f es constante

Estoy atascado en la siguiente pregunta.

Dado que el f es una función completa con |f(z)|1+|z| todos los zC, muestran que f es constante.

Puede alguien darme una pista para ayudarme a comenzar?

OK, basado en una de las siguientes sugerencias, que me definen: g(z)=f(z)f(0)z Ahora, permítanme asumir que esto es todo por definir g(0)=f(0). Es eso justo, y si es así, ¿por qué?

Continuando, |g(z)|=|f(z)f(0)z||f(z)z|+|f(0)z|=|f(z)||z|+|f(0)||z|1+|z||z|+|f(0)||z|=1|z|+|z||z|+|f(0)||z|=1|z|+1|z|+|f(0)||z|1+1+|f(0)|=2+|f(0)|, siempre |z|1.

Siguiente, g es todo en el disco D={z:|z|1}, que es compacto, por lo que debe asumir un valor máximo de este disco, decir |g(z)|MD. Tomando Ms igual a la menor de 2+|f(0)|M, |g(z)Ms todos los zC.

Ahora, por el Teorema de Liouville, g es constante.

Sin embargo, volver al principio de la discusión, mi única preocupación es si g se entero por definir g(0)=f(0). No estoy seguro de que es válido. Alguien puede comentar sobre esto y también comentarios sobre los párrafos anteriores, si hay errores?

Gracias.

10voto

John R. Strohm Puntos 1559

Sugerencia: Aplique de Cauchy estimaciones del teorema que dice que si |f(z)|M todos los zD(z0,R), entonces:

|f(n)(z0)|n!MRnn,N,n1


Elaborar, aplicar el teorema de a z0=0. Para todos los zD(0,R),|f(z)|1+|z|1+R. Por lo tanto:

|f(n)(0)|n!(1+R)Rnn,N,n1

El RHS va a 0 R (recuerde, f es todo). Esto obliga a f(n)(0) a cero para todos los n1. De ello se desprende que f es constante.

3voto

samt Puntos 633

Mostrar que si f no tiene un cero es constante.

Si f tiene un cero de la escritura f(z)=(za)g(z), y deducir que g es constante mediante la aplicación de la desigualdad.

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