Estoy atascado en la siguiente pregunta.
Dado que el f es una función completa con |f(z)|≤1+√|z| todos los z∈C, muestran que f es constante.
Puede alguien darme una pista para ayudarme a comenzar?
OK, basado en una de las siguientes sugerencias, que me definen: g(z)=f(z)−f(0)z Ahora, permítanme asumir que esto es todo por definir g(0)=f′(0). Es eso justo, y si es así, ¿por qué?
Continuando, |g(z)|=|f(z)−f(0)z|≤|f(z)z|+|f(0)z|=|f(z)||z|+|f(0)||z|≤1+√|z||z|+|f(0)||z|=1|z|+√|z||z|+|f(0)||z|=1|z|+1√|z|+|f(0)||z|≤1+1+|f(0)|=2+|f(0)|, siempre |z|≥1.
Siguiente, g es todo en el disco D={z:|z|≤1}, que es compacto, por lo que debe asumir un valor máximo de este disco, decir |g(z)|≤MD. Tomando Ms igual a la menor de 2+|f(0)|M, |g(z)≤Ms todos los z∈C.
Ahora, por el Teorema de Liouville, g es constante.
Sin embargo, volver al principio de la discusión, mi única preocupación es si g se entero por definir g(0)=f′(0). No estoy seguro de que es válido. Alguien puede comentar sobre esto y también comentarios sobre los párrafos anteriores, si hay errores?
Gracias.