Todo, $|f(z)|\le1+\sqrt{|z|}$ implica $f$ es constante

Question

Estoy atascado en la siguiente pregunta.

Dado que el $f$ es una función completa con $|f(z)|\le1+\sqrt{|z|}$ todos los $z\in \mathbb{C}$, muestran que $f$ es constante.

Puede alguien darme una pista para ayudarme a comenzar?

OK, basado en una de las siguientes sugerencias, que me definen: $$g(z)=\frac{f(z)-f(0)}{z}$$ Ahora, permítanme asumir que esto es todo por definir $g(0)=f'(0)$. Es eso justo, y si es así, ¿por qué?

Continuando, $$\begin{align*} \left|g(z)\right| &=\left|\frac{f(z)-f(0)}{z}\right|\\ &\le \left|\frac{f(z)}{z}\right|+\left|\frac{f(0)}{z}\right|\\ &=\frac{|f(z)|}{|z|}+\frac{|f(0)|}{|z|}\\ &\le\frac{1+\sqrt{|z|}}{|z|}+\frac{|f(0)|}{|z|}\\ &=\frac{1}{|z|}+\frac{\sqrt{|z|}}{|z|}+\frac{|f(0)|}{|z|}\\ &=\frac{1}{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}+\frac{|f(0)|}{|z|}\\ &\le 1+1+|f(0)|\\ &=2+|f(0)|, \end{align*}$$ siempre $|z|\ge 1$.

Siguiente, $g$ es todo en el disco $D=\{z:\,|z|\le 1\}$, que es compacto, por lo que debe asumir un valor máximo de este disco, decir $|g(z)|\le M$$D$. Tomando $M_s$ igual a la menor de $2+|f(0)|$$M$, $|g(z)\le M_s$ todos los $z\in C$.

Ahora, por el Teorema de Liouville, $g$ es constante.

Sin embargo, volver al principio de la discusión, mi única preocupación es si $g$ se entero por definir $g(0)=f'(0)$. No estoy seguro de que es válido. Alguien puede comentar sobre esto y también comentarios sobre los párrafos anteriores, si hay errores?

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Aplique de Cauchy estimaciones del teorema que dice que si $\left|f(z)\right| \le M$ todos los $z \in D(z_0, R)$, entonces:

$$\left|f^{(n)}(z_0)\right| \le \frac{n! M}{R^n} \quad n \in \Bbb, N, n \ge 1$$

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Elaborar, aplicar el teorema de a $z_0 = 0$. Para todos los $z \in D(0, R)$,$\left|f(z)\right| \le 1 + \sqrt{|z|} \le 1 + \sqrt{R}$. Por lo tanto:

$$\left|f^{(n)}(0)\right| \le \frac{n! \left(1 + \sqrt{R}\right)}{R^n} \quad n \in \Bbb, N, n \ge 1$$

El RHS va a $0$ $R \to \infty$ (recuerde, $f$ es todo). Esto obliga a $f^{(n)}(0)$ a cero para todos los $n \ge 1$. De ello se desprende que $f$ es constante.

Answer 2

Mostrar que si $f$ no tiene un cero es constante.

Si $f$ tiene un cero de la escritura $f(z)=(z-a)g(z)$, y deducir que $g$ es constante mediante la aplicación de la desigualdad.