Polinomio real en dos variables

Question

Tengo problemas para demostrar el siguiente resultado:

Cada $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\forall a,b \in \mathbb{R} \ : \ f_a(y) := f(a,y), \ f_b(x) := f(x,b) $ son polinomios es un polinomio con dos variables.

Si considero que $f$ en función de $x$ entonces su derivada $f'(x) = \frac{\partial f}{\partial b}(x)$ . Del mismo modo, si tratamos $f$ en función de $y$ .

Supongo que $f_a(y) = \frac{\partial f}{\partial a} (y) $ y $f_b(x)=\frac{\partial f}{\partial b}(x)$ .

Pero no estoy seguro de que podamos asumirlo, porque el grado de la derivada debería ser menor que el grado de la función original (y no lo es).

En realidad, ni siquiera estoy seguro de que lo que intento demostrar sea cierto, porque en la formulación original de los problemas está escrito $f_a(y) := (a,y), \ f_b(x):=(x,b)$ . Pero eso no tenía sentido.

¿Podría ayudarme en esto?

Gracias.

Answer 1

No entiendo lo que dices de los derivados y voy a suponer que quieres el siguiente resultado.

Dejemos que $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función tal que para cada $a, b \in \mathbb{R}$ , $x \mapsto f(x,b)$ y $y \mapsto f(a,y)$ son funciones polinómicas; entonces $f$ es un polinomio en dos variables.

Esto no es obvio porque no tenemos una buena representación de $f$ . La idea de la prueba es mostrar que $f$ coincide con un polinomio en un número suficiente de puntos.

1) Existe un conjunto infinito $I \subset \mathbb{R}$ y un número entero $N$ tal que para cualquier $a,b \in I$ los polinomios $y \mapsto f(a,y)$ y $x \mapsto f(x,b)$ son de grado limitado por $N$ . Esto se deduce del hecho de que $\mathbb{R}$ no es contable: si $K_n$ es el conjunto de $z \in \mathbb{R}$ tal que $x\mapsto f(x,z)$ y $y \mapsto f(z,y)$ son de grado limitado por $n$ entonces $\cup_{n\in \mathbb{N}} K_n = \mathbb{R}$ y uno de los $K_n$ debe ser infinito (de hecho incontable pero no lo necesito).

2) Que $I$ y $N$ sea como en el punto anterior. Sea $z_1,\dots,z_{N+1}$ sea $N+1$ elementos arbitrarios en $I$ . Afirmo que existe un polinomio $Q$ en dos variables, de grado en $x$ y $y$ como máximo $N$ tal que $Q$ toma los mismos valores que $f$ en todos los puntos de la forma $(z_i,z_j)$ , para $1 \leq i,j \leq N+1$ . De hecho, es el análogo de la interpolación de Lagrange en dos variables. Este polinomio $Q$ se define por:

$$ Q(x,y) = \sum_{i=1}^{N+1} \sum_{j=1}^{N+1} f(z_i,z_j) \prod_{i' \neq i} \prod_{j' \neq j} \frac{(x-z_{i'})(y-z_{j'})}{(z_i-z_{i'})(z_j-z_{j'})}.$$

3) Afirmo que $f(x,y) = Q(x,y)$ en todas partes. Primero, $y \mapsto f(z_i,y)$ y $y \mapsto Q(z_i,y)$ son ambos polinomios de grado limitado por $N$ que coinciden en $N+1$ puntos. Esto demuestra que $f = Q$ en conjuntos de la forma $z_i \times \mathbb{R}$ . Ahora, toma cualquier $y$ en $I$ . Entonces $x \mapsto f(x,y)$ y $x \mapsto Q(x,y)$ son polinomios de grado limitado por $N$ y son iguales para $x$ igual a uno de los $z_i$ . Así que son iguales en todas partes. Esto demuestra que $f = Q$ en $\mathbb{R} \times I$ . Por último, consideremos un $x \in \mathbb{R}$ . Entonces $y \mapsto f(x,y)$ y $y \mapsto Q(x,y)$ son ambos polinómicos, iguales cuando $y \in I$ . Desde $I$ es infinito, son iguales en todas partes. Con esto concluye la prueba de $Q = f$ .

Answer 2

F. W. Carroll, "Un polinomio en cada variable por separado es un polinomio". Amer. Math. Monthly 68 (1961) 42.

Verdadero para los reales, o cualquier campo incuantificable (o finito). Pero falso para los racionales (o cualquier campo contablemente infinito)...

Richard S. Palais, "Some analogues of Hartogs' theorem in an algebraic algebraica". Amer. J. Math. 100 (1978), nº 2, 387--405.

Answer 3

Establecer $f(\cdot, y):x\mapsto f(x,y)$ . Desde este $f(\cdot, y)$ es $x$ -continuo, cuando $y_n\to y$ los polinomios $f(\cdot, y_n)$ convergen puntualmente en todas partes. Por lo tanto, para un $N$ los conjuntos $\{y| \deg f(\cdot, y)\leq N \}$ están cerradas. Por Baire existe $N$ y $Y\subset \Bbb R$ abierto, tal que $\deg f(\cdot, y)\leq N, \forall y\in Y$ . Intercambio de $x$ y $y$ tenemos $M$ y $X\subset \Bbb R$ con propiedades análogas. Fijar arbitrariamente $x_0<\dots <x_N$ en $X$ , $y_0<\dots <y_N$ en $Y$ y tomar el polinomio $g$ de bi-grado $(N,M)$ que es igual a $f$ en el $(N+1)(M+1)$ puntos $(x_j,y_k)$ . Si $h=f-g\equiv 0$ hemos terminado. Para cualquier $y\in Y$ , $h(\cdot, y)$ desaparece idénticamente porque su grado es $\leq N$ y se desvanece en $x_0,\dots , x_N$ . Así, $\forall x\in\Bbb R$ $h(x,\cdot)$ desaparece idénticamente porque desaparece en el conjunto abierto $Y$ . Esto significa que $h\equiv 0$ .