Hay 3 acciones del grupo Galileo sobre la partícula libre: Sobre el espacio de configuración, sobre el espacio de fase y sobre el espacio de estado cuántico (funciones de onda). El álgebra de Lie galileana se realiza fielmente sobre el espacio de configuración mediante campos vectoriales, pero su acción levantada sobre el álgebra de Poisson de funciones sobre el espacio de fase y sobre las funciones de onda (mediante operadores diferenciales) es la extensión central del álgebra galileana, conocida como álgebra de Bargmann en la que el conmutador de impulsos y momentos es proporcional a la masa. El razonamiento se da en los siguientes argumentos
1) La acción sobre el espacio de configuración: $Q = \{x^1, x^2, x^3, t\}$ :
Aquí las traslaciones y los operadores boost actúan como campos vectoriales y su conmutador es cero:
Traducción: $x^i \rightarrow x^i+c^i$ , generando el vector $P_i = \frac{\partial}{\partial x^i}$
Impulso: $x^i \rightarrow x^i+v^i t$ , generando el vector $G_i = t \frac{\partial}{\partial x^i}$
Se trata de una acción fiel del grupo galileo: $[P_i, G_j] = 0$ .
2) La acción galileana elevada al espacio de fase $Q = \{x^1, x^2, x^3, p_1, p_2, p_3\}$
El significado de levantar la acción es escribir realmente el Lagrangiano y encontrar las cargas de Noether de la simetría anterior: Las cargas como funciones sobre el espacio de fase generarán la versión centralmente extendida del grupo. Aplicando el teorema de Noether, obtenemos las siguientes expresiones de las cargas de Noether:
Traducción: $P_i = p_i$
Impulso: $ G_i = P_i t - m x^i$ .
Los soportes canónicos de Poisson en $t=0$ (porque el espacio de fase es el espacio de los datos iniciales): $\{P_i, G_j\} = m \delta_{ij}$
La razón por la que la acción elevada es una extensión central radica en el hecho de que el álgebra de Poisson de una variedad es una extensión central del espacio de los campos vectoriales hamiltonianos,
$$ 0\rightarrow \mathbb{R}\overset{i}{\rightarrow} C^{\infty}(M)\overset{X}{\rightarrow} \mathrm{Ham}(M)\rightarrow 0$$
Dónde está el mapa $X$ genera un campo vectorial hamiltoniano a partir de un Hamiltoniano:
$$X_H = \omega^{ij}\partial_{j}H$$
( $\omega$ es la forma simpléctica. La secuencia exacta indica simplemente que los campos vectoriales hamiltonianos de las funciones constantes son todos cero).
Así, si el álgebra de Lie admite una extensión central no trivial, esta extensión puede materializarse en los corchetes de Poisson (el resultado de un corchete de Poisson puede ser una función constante).
3) La razón por la que la acción también se extiende es que en la mecánica cuántica las funciones de onda son secciones de un haz de líneas sobre la variedad de configuración. Un haz de líneas es un $\mathbb{C}$ sobre el colector:
$$ 0\rightarrow \mathbb{C}\overset{i}{\rightarrow} \mathcal{L}\overset{\pi}{\rightarrow} M\rightarrow 0$$
por lo que cabría esperar una extensión en la acción del grupo levantado. Los haces de líneas pueden adquirir fases no triviales tras una determinada transformación. En el caso de los impulsos, la ecuación de Schrödinger no es invariante bajo impulsos a menos que la transformación de la función de onda sea de la forma
$$ \psi(x) \rightarrow \psi'(x) = e^{\frac{im}{\hbar}(vx+\frac{1}{2}v^2t)}\psi(x+vt)$$
Los generadores de impulso infinitesimal:
$$\hat{G}_i = im x_i + \hbar t \frac{\partial}{\partial x_i}$$
Así, en $t=0$ obtenemos: $[\hat{G}_i, \hat{P}_j] = -im \hbar\delta_{ij}$
Así, en resumen, la acción del grupo Galileo sobre el espacio de configuración de la partícula libre no está extendida, mientras que la acción sobre el álgebra de Poisson del espacio de fase y el haz de líneas cuántico está extendida de forma no trivial central.
La clasificación de las acciones de grupos sobre haces de líneas y extensiones centrales puede ser realizar por medio de grupos de Lie y Cohomología del álgebra de Lie . Una buena referencia sobre este tema es el libro por Azcárraga, e Izquierdo. Este libro contiene un tratamiento detallado de la cohomología del álgebra de Galilea. Además, hay dos artículos muy amenos de van Holten: ( primero , segundo ).
Las acciones de grupo sobre haces de líneas (es decir, la mecánica cuántica) están clasificadas por el primer grupo de cohomología de los grupos de Lie, mientras que las extensiones centrales están clasificadas por el segundo grupo de cohomología de las álgebras de Lie. El problema de encontrar extensiones centrales de las álgebras de Lie puede reducirse a una construcción algebraica manejable. Se puede formar un operador BRST:
$$ Q = c^i T_i + f_{ij}^k c^i c^j b_k$$
Dónde $b$ abd $c$ son variables conjugadas anticonmutación: $\{b_i, c_j \} = \delta_{ij}$ . $T_i$ son los generadores del álgebra de Lie.
No es difícil comprobar que $Q^2 = 0$
Si podemos encontrar una solución constante a la ecuación $Q \Phi = 0$ con $\Phi = \phi_{i j} c^i c^j$
que tiene la siguiente forma en componentes, tenemos
$$ f_{[ij|}^k \phi_{k|l]} = 0$$
(Los paréntesis en los índices significan que los índices $i, j, l$ son antisimétricos. Entonces se cierra la siguiente extensión central:
$$ [\hat{T}_i, \hat{T}_j] = i f_{ij}^{k} \hat{T}_k + \phi_{ij}\mathbf{1}$$
El segundo grupo de cohomología del álgebra de Lie del grupo de Poincaré es evanescente, por lo que no tiene una extensión central no trivial. Un indicio de ello puede encontrarse en el hecho de que la acción de la partícula libre relativista es invariante bajo transformaciones de Poincaré. (Sin embargo, esto no es una prueba completa porque es para una realización específica). Un teorema general de la cohomología de las álgebras de Lie afirma que las álgebras de Lie semisimples tienen un segundo grupo de cohomología evanescente. Los productos semidirectos de espacios vectoriales y álgebras de Lie semisimples también tienen una segunda cohomología evanescente siempre que no haya dos formas invariantes en el espacio vectorial. Este es el caso del grupo de Poincaré. Por supuesto, se puede demostrar el caso especial del grupo de Poincaré mediante el método BRST descrito anteriormente.
