La ecuación de $y^2=4x^3+7$ no tiene solución integral desde $y^2\equiv4x^3+7\pmod4$ no tiene solución (es decir, no tiene solución en $\Bbb{Z}/4\Bbb{Z}$).
Es bien sabido que $y^2=x^3+7$ no tiene solución integral, pero que existe un entero $n (n>1)$ tal que $y^2\equiv x^3+7\pmod n$ no tiene solución? Si no, ¿cómo puedo demostrarlo? Gracias de antemano.
El discriminante de $x^3+7$$-27\cdot49$. Dado un primer poder de $q$, este discriminante es distinto de cero en el campo de $F_q$ si $q$ $3,9,27,7,$ o $49$. Para otros valores de $q$, $y^2=x^3+7$ es una curva elíptica sobre $F_q$, y podemos utilizar la Naturaleza del obligado
$$|N-(q+1)| \le 2\sqrt q$$
donde $N$ es el número de puntos de la curva. Así que hay al menos $q+1-2\sqrt q$ puntos de la curva. Uno de estos es el punto en el infinito; esto restando tenemos, al menos, $q-2\sqrt q$ soluciones de $y^2=x^3+7$. Esto es $> 0$ (y, por tanto,$\ge 1$)$q \ge 5$.
Así que usted necesita sólo verificar los casos de $q=2,3,4,7,9,27,$ $49$ a demostrar que $y^2=x^3+7$ tiene una solución cada modulo de potencia principal. Y como Greg Martin señala en un comentario, esto es suficiente para establecer que para todos los $n$.
Con mis respetos por graves a los objetores.
La PISTA.-Selmer había probado en un clásico de papel en curvas elípticas (he estudiado mucho cuando estaba escribiendo mi tesis "Sur une classe de courbes elliptiques", Université de Montpellier) que $3x^3+4y^3+5z^3=0$ tiene solución modulo de todos los n (más, en p-ádico números de negar para cúbicas el Principio de Hasse) y esto se aplica de manera similar a la pregunta de @sacch (ha sido "inspirado" por Selmer, Heath-Marrón o de otras personas?).
Pero dicen que esta en nuestro caso, es equivalente (permanecer en el nivel de primaria lo que yo quería) para decir que la igualdad de $(pn+h)^2 = 7 + (qn+k)^3$ siempre se verifica para todo n con adecuados valores de $p,q,h,k$.
¿Que "no entendía en absoluto" de la sugerencia que yo quería dar a @sacch?
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