Krylov-Bogoliubov para medir las transformaciones

Question

En el Krylov-Bogoliubov teorema, la transformación se supone continua. ¿El teorema de mantener si la transformación es asumido sólo ser medibles? Si no, ¿qué es un contraejemplo?

Editar Un par de pruebas de la Krylov-Bogoliubov teorema se dan aquí, pero no estoy seguro de si las pruebas a realizar a través de la transformación medibles.

Answer 1

No, no se sostiene únicamente para medibles transformaciones. Como contraejemplo, dejar el espacio de los números enteros no negativos $X=\mathbb N$ con el sigma-álgebra $\mathcal{P}(\mathbb N)$ (el juego de poder). Deje $F\colon X\to X$ ser dado por $F(x)=x+1$. Si $\mu$ es finita $F$-invariante medida, a continuación, todos los $A\in\mathcal{B}$ debe tener medida de 0.

Para cualquier entero no negativo $n$, $F$-la invariancia da $\mu([n,\infty))=\mu(F^{-n}([n,\infty)))=\mu(\mathbb{N})$. Así, por la convergencia monótona $$ \mu(\mathbb{N})=\lim_{n\to\infty}\mu([n,\infty))=\mu(\emptyset)=0. $$

Véase también las siguientes preguntas y respuestas, la Probabilidad de escoger una al azar número natural y por Qué no hay una uniforme distribución de probabilidad sobre los números reales positivos?.

Sólo en caso de que usted está preocupado de que este ejemplo no es un compacto metrizable espacio, considere la posibilidad de la métrica en la $\mathbb{N}$ $d(x,y)=\vert\theta(x)-\theta(y)\vert$ donde$\theta(x)=\frac1x$$x\not=0$$\theta(0)=0$. Esta es una métrica de decisiones $\mathbb N$ en un espacio compacto, con Borel sigma-álgebra igual al poder establecido.