¿Cada elemento está contenido en un conjunto medible más pequeño?

Question

Dejemos que $(X,\mathcal F)$ sea un espacio de medidas, entonces para cada $x \in X$ existe siempre un conjunto medible más pequeño que contiene $x$ ?

Si $X$ es contable o $\mathcal F$ finito, entonces esto es cierto, ya que entonces el conjunto $$ \bigcap_{\substack{E \in \mathcal F \\ x \in E}} E $$ podría reescribirse como una intersección a lo sumo contable (es decir, seleccionando sólo un subconjunto contable de los conjuntos medibles que contienen $x$ ). ¿Pero qué pasa en el caso general? Si me fijo, por ejemplo, en el Borel- $\sigma$ -de álgebra sobre $\mathbb R$ , entonces cada conjunto de singletons $\{x\}$ es medible, y trivialmente el conjunto más pequeño que contiene $x$ Así que no se me ocurre ningún ejemplo en el que dicho conjunto no esté especificado de forma única

Answer 1

La respuesta es no, y he aquí un ejemplo: Dejemos que $X=\mathbb{R}$ y definir un conjunto $E \subseteq \mathbb{R}$ para ser medible si

• $0 \notin E$ y $E$ es contable, o
• $0 \in E$ y el complemento $E^c$ es contable.

Entonces es fácil ver que no hay ningún conjunto medible más pequeño que contenga $x=0$ .

Answer 2

Como ha demostrado Lukas Geyer, en general no.

Pero si puedes encontrar una medida finita $\mu$ en $(X,\mathcal{F})$ tal que $\mu(A) = 0 \implies A = \emptyset$ para todos $A \in \mathcal{F}$ (es decir, el conjunto vacío es el único conjunto nulo), entonces es verdadera:

Dejemos que $x \in X$ y $\alpha = \inf\{\mu(A)\mid x \in A \in \mathcal{F}\}$ . Entonces, como $\mu$ es finito, $\alpha < \infty$ y por lo tanto existe una secuencia $x \in A_n \in \mathcal{F}$ tal que $\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \alpha$ . Dejemos que $$B = \bigcap_{n=1}^\infty A_n.$$ Entonces $x \in B \in \mathcal{F}$ y $\mu(B) = \alpha$ . Obviamente $$E_x := \bigcap_{x \in A \in \mathcal{F}}A \subseteq B.$$ Supongamos que $B \not \subseteq E_x$ . Entonces hay un poco de $y \in X$ y $x \in C \in \mathcal{F}$ tal que $y \in A_n$ para todos $n \in \mathbb{N}$ y $y \not \in C$ . Entonces $$\alpha = \mu(B) = \underbrace{\mu(B\setminus C)}_{>0} + \underbrace{\mu(B \cap C)}_{= \alpha}$$ donde $\mu(B\setminus C) > 0$ por $y \in B\setminus C$ y la propiedad de $\mu$ . Contradicción.

De hecho, es fácil ver que basta con que $\alpha < \infty$ es decir, que la medida $\mu$ satisface que para cada $x \in X$ hay algo de $x \in A \in\mathcal{F}$ tal que $\mu(A) < \infty$ . En particular, un $\sigma$ -medida finita $\mu$ equivalente a la medida de recuento es suficiente.