¿Alguien puede explicar el Lema de Borel-Cantelli?

Question

Estoy buscando una explicación informal e intuitiva del Lema de Borel-Cantelli. La versión simbólica se puede encontrar aquí.

Lo que me confunde es lo que significa 'la probabilidad de la superioridad del límite es igual a $ 0 $'.

¡Gracias!

Answer 1

Sea $\{E_n\}$ una secuencia de eventos. Cada evento $E_i$ es una colección de resultados. El límite superior de la colección $\{E_n\}$ es la colección de todos aquellos resultados que aparecen en un número infinito de eventos. El Lema de Borel Cantelli dice que si la suma de las probabilidades de los $\{E_n\}$ es finita, entonces la colección de resultados que ocurren infinitamente a menudo debe tener probabilidad cero.

Para dar un ejemplo, supongamos que elijo al azar un número real $x \in [0,1]$ usando una medida de probabilidad arbitraria $\mu$. Luego desafío a mis (infinitos) amigos a adivinar un subconjunto $E_n$ de $[0,1]$ que contiene a $x$. Si un número infinito de amigos adivina correctamente, tengo que comprar pizza para todos. Para asegurarme de que no adivinen todo el intervalo, les hago pagar por elegir conjuntos grandes: el costo de elegir un conjunto $E$ es $\mu(E)$. Reviso mi cuenta bancaria al final de las elecciones y descubro que solo he ganado una cantidad finita de dinero, es decir, $\sum \mu(E_n) < \infty$ (¡amigos tacaños!). ¿Es probable que tenga que comprar pizza para todos? ¡No! Porque el conjunto $E_{\infty}$ de números en los que un número infinito de amigos estuvo de acuerdo tiene medida cero, por lo que la probabilidad de que mi número aleatorio $x$ esté en ese conjunto es cero.

Answer 2

Aquí hay una prueba que escribí para sci.math, pero nunca publicada:

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Borel-Cantelli: Supongamos que $\sum_{i=1}^\infty P(A_i)$ es finito, entonces la probabilidad de que ocurran infinitamente muchos de los $A_i$ es $0$.

Prueba: Sea $B_k$ el evento $\cup_{i=k}^\infty A_i$ para $k=1,2,\ldots,$. Si $x$ está en el evento $A_i$'s i.o., entonces $x\in B_k$ para todos los $k$. Así que $x\in \cap_{k=1}^\infty B_k.

Recíprocamente, si $x\in B_k$ para todos los $k$, entonces podemos demostrar que $x$ está en $A_i$'s i.o. De hecho, $x\in B_1 = \cup_{i=1}^\infty A_i$ significa que $x\in A_{j(1)}$ para algún $j(1)$. Sin embargo, $x\in B_{j(1)+1}$ implica que $x\in A_{j(2)}$ para algún $j(2)$ que es estrictamente mayor que $j(1)$. Por lo tanto, podemos producir una secuencia infinita de enteros $j(1)< j(2)< j(3)<\ldots$ tal que $x\in A_{j(i)}$ para todos los $i.

Sea $E$ el evento $\{x:\, x\in A_i \mbox{ i.o.}\}$. Tenemos $$ E = \bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{i=k}^\infty A_i\tag{1} $$ De $E\subseteq B_k$ para todos los $k$, se sigue que $P(E)\leq P(B_k)$ para todos los $k$. Por la unión acotada, sabemos que $P(B_k)\leq \sum_{i=k}^\infty P(A_i)$. Así que $P(B_k)\rightarrow 0$, por la hipótesis de que $\sum_{i=1}^\infty P(A_i)$ es finito. Por lo tanto, $P(E)=0$.

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Para eventos, $\bigcap\approx\inf$ y $\bigcup\approx\sup$. Dado que $$ \limsup_{n\to\infty}a_n=\operatorname*{\inf\vphantom{p}}_{n\ge1}\sup_{k\ge n}a_k\tag{2} $$ tiene sentido llamar $$ \limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n\ge1}\bigcup_{k\ge n} A_k\tag{3} $$

Answer 3

En espacios de probabilidad infinitos, la probabilidad de que un evento sea $0$ no significa que no pueda ocurrir. Esto puede ser confuso, pero así es la vida. Considera por ejemplo lanzar una moneda justa infinitas veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en todos estos lanzamientos obtengas caras? Respuesta: 0 (la probabilidad de que todos los lanzamientos sean caras debe ser menor que la probabilidad de que los primeros $n$ lanzamientos sean caras, pero eso es igual precisamente a $(1/2)^n$, por lo que la probabilidad de que todos sean caras es menor que $(1/2)^n$ para todo $n$, lo que significa que es igual a $0$). Por supuesto que puede ocurrir, pero con probabilidad 0.

En espacios de probabilidad finitos, un evento con probabilidad $0$ puede interpretarse de manera segura como "no puede ocurrir". Pero en espacios de probabilidad infinitos, necesitas refinar tu intuición.

Si entiendo tu pregunta correctamente, esto es realmente de lo que estás preguntando y no tanto sobre Borel-Cantelli. Solo para hacer un comentario más, Borel-Cantelli dice que si la suma total de las probabilidades de los eventos es finita (es decir, pequeña) entonces la probabilidad de que dichos eventos ocurran infinitamente veces es $0$. Puede ocurrir, pero es muy poco probable. Para que algunos eventos ocurran infinitamente veces, debe ser el caso de que la suma total de las probabilidades individuales sea grande (es decir, infinita). La página de Wiki que citaste da varios ejemplos. Espero que esto te ayude.

Answer 4

Aplicación del Primer Lema de Borel-Cantelli

Consideremos un escenario en el que lanzamos un dado justo de seis caras un número infinito de veces.

Definamos un evento $A_n$ como el evento en el que el dado muestra un 6 en el lanzamiento número $n$, pero solo si $n$ es un cuadrado perfecto (es decir, $n = 1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots$). Para cualquier otro valor de $n$, diremos que $A_n$ no puede ocurrir.

Dado que el dado es justo, la probabilidad de obtener un 6 en cualquier lanzamiento es $\frac{1}{6}$. Por lo tanto, la probabilidad de cada evento $A_n$ es $P(A_n) = \frac{1}{6}$ si $n$ es un cuadrado perfecto, y $P(A_n) = 0$ en caso contrario.

Ahora, consideremos la suma de las probabilidades de los eventos $A_n$. Dado que hay infinitos números naturales pero solo un número finito de cuadrados perfectos menores o iguales a cualquier número dado, la suma de las probabilidades es un número finito. Específicamente, es $\sum_{i=1}^\infty P(A_{i^2}) = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{6} = \lim_{n \to \infty}n \cdot \frac{1}{6} =$ número finito.

Según el primer Lema de Borel-Cantelli, si la suma de las probabilidades de los eventos $A_n$ es finita, entonces la probabilidad de que ocurran infinitos eventos $A_n$ es 0. En este caso, dado que la suma de las probabilidades es finita, podemos concluir que la probabilidad de que el dado muestre un 6 en un número infinito de lanzamientos en cuadrados perfectos es 0.

Por lo tanto, en este escenario, el primer Lema de Borel-Cantelli nos permite concluir que, casi con seguridad, solo un número finito de los eventos $A_n$ ocurrirán.

Aplicación del Segundo Lema de Borel-Cantelli

En el contexto de lanzar un dado justo un número infinito de veces, el evento $A_1$ representa el dado mostrando un 1 en un lanzamiento. Si denotamos por $A_i$ el evento en el que el dado muestra un 1 en el lanzamiento número $i$, entonces cada $A_i$ es un evento independiente con probabilidad $\frac{1}{6}$.

El evento $\limsup A_1$ representa el evento en el que $A_1$ ocurre infinitamente veces, es decir, el dado muestra un 1 un número infinito de veces en la secuencia infinita de lanzamientos.

Según el primer Lema de Borel-Cantelli, si la suma de las probabilidades de los eventos $A_i$ es finita, entonces la probabilidad de que ocurran infinitos eventos $A_i$ es 0. En este caso, dado que cada $A_i$ tiene probabilidad $\frac{1}{6}$, la suma de las probabilidades es $\sum_{i=1}^\infty P(A_i) = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{6} = \infty$. Por lo tanto, el primer Lema de Borel-Cantelli no se aplica aquí.

Sin embargo, el segundo Lema de Borel-Cantelli establece que si los eventos $A_i$ son independientes y la suma de sus probabilidades es infinita, entonces la probabilidad de que ocurran infinitos eventos $A_i$ es 1. En este caso, dado que los eventos $A_i$ son independientes y la suma de sus probabilidades es infinita, se aplica el segundo Lema de Borel-Cantelli, y podemos decir que la probabilidad de que el dado muestre un 1 un número infinito de veces es 1, es decir, $P(\limsup A_1) = 1$.

Entonces, si lanzamos un dado justo un número infinito de veces, la probabilidad de que el dado muestre un 1 un número infinito de veces es 1, no 0.