Según tengo entendido, existe el mínimo ordinal $\alpha$ de tal manera que no hay un buen ordenamiento de $\mathbb{N}$ que es a la vez de orden isomorfo a $\alpha$ y es un conjunto aritmético . ¿Existe un nombre convencional para ese ordinal? ¿Todo ordinal superior a $\alpha$ ¿también no aritmética?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Como Joel David Hamkins me señaló en otra pregunta sobre MO, el conjunto de ordinales aritméticos es exactamente el conjunto de ordinales recursivos $\omega^{\mathrm{CK}}_1$ . Ver https://mathoverflow.net/questions/82136/ordinals-and-complexity-classes/82144#82144 .
Levon Haykazyan
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Como dije en el comentario, probablemente estás buscando el menor ordinal tal que no hay un buen ordenamiento de un subconjunto de $\mathbb N$ que es a la vez de orden isomorfo a $\alpha$ y aritmética. Por lo demás, $0$ sería el menor de los ordinales. Así que en lo que sigue asumiré la definición modificada.
No he oído hablar de tales ordinales antes, pero dadas las obvias similitudes con los ordinales recursivos, creo que el término ordinales aritméticos sería apropiado.
En cuanto a su segunda pregunta, suponga $\alpha$ es un ordinal aritmético. Sea $\beta < \alpha$ (es decir $\beta \in \alpha$ ). Sea $R(x,y)$ sea una relación aritmética que ordene bien $N \subseteq \mathbb N$ con el tipo de orden $\alpha$ . Dejemos que $f : \alpha \to N$ definen el isomorfismo de $\langle \alpha, \in \rangle$ y $\langle N, R \rangle$ . Denote $n_\beta = f(\beta)$ . Entonces la relación definida por $R'(x, y) = R(x, y) \land R(y, n_\beta)$ es una ordenación aritmética de un subconjunto de $\mathbb N$ con el tipo de orden $\beta$ . Por lo tanto, $\beta$ también es aritmética. Por lo tanto, todos los ordinales por encima de uno no aritmético son a su vez no aritméticos.
