Q1. No es la inversa de la adición destruido por la selección de sólo los miembros positivos de P?
Si te refieres a que el conjunto $P$ no es cerrado bajo tomando inversos aditivos, sí, eso es cierto. Por ejemplo, $P$ no es un subgrupo del grupo aditivo de el campo de $F$. Su lenguaje ("destruido"), hace de este sonido como una mala cosa, pero no lo es. Si ayuda, el subconjunto $P$ no es el "ordenado", campo en sí, es el extra de la estructura sobre el terreno, lo que permite ver como encargado de campo, es decir,$x < y \iff y-x \in P$. A menudo, $P$ se llama el positivo de cono de la realización del pedido, y este lenguaje es el más sugerente, ya que en ambos los congelados de la industria de productos lácteos y matemáticas superiores, los conos no están obligados a ser cerrado bajo de inversión.
Q2. Podemos decir que esta construcción es, efectivamente, demostrando que existe dos automorfismos para el campo de extensión de la $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$?
Yo diría que la construcción es, efectivamente, el uso de la trivial automorphism $a+ b \sqrt{2} \mapsto a- b\sqrt{2}$$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$: la lógica de que va en la otra dirección. Es decir, cuando se tiene un orden $<$ en un campo de $K$ y un automorphism $\sigma$$K$, se puede recuperar el orden por el automorphism para obtener un orden $<_{\sigma}$ definido por $a <_{\sigma} b \iff \sigma(a) < \sigma(b)$. En el caso de $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, esto es exactamente lo que consigue el segundo pedido de la primera (que a su vez proviene de la norma de `incrustar" en $\mathbb{R}$: en otras palabras, el segundo pedido de $<_\sigma$ $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$
se caracteriza por $a+b\sqrt{2} >_\sigma 0$ si $a-b\sqrt{2} > 0$.
Es fácil comprobar que en todos los casos, $<_{\sigma}$ es un orden en el campo de $K$. No analizamos en general que $<_{\sigma}$ es una diferente ordenación de $<$. En el ejemplo anterior, esto era claro: por ejemplo, $\sqrt{2}$ es considerado como positivo en exactamente uno de los dos ordenamientos. Sin embargo, es posible que $<_{\sigma}$ $<$ coincidiendo: esto sucede (en lugar tautologically) exactamente al $\sigma$ no es sólo un automorphism de
el campo $K$ pero de la orden de campo $(K,<)$. Aquí es lo que creo que es la más sencilla
ejemplo:
Deje $K = \mathbb{Q}(t)$ ser la función racional de campo en una variable. A continuación, el automorphism grupo de $K$$\operatorname{PGL}_2(\mathbb{Q}) = \{t \mapsto \frac{at+b}{ct+d} \ | a,b,c,d \in \mathbb{Q}, \ ad \neq bc\}$. A continuación, se hace un buen ejercicio para mostrar:
(i) No es exactamente un pedido de $<$ $\mathbb{Q}(t)$ que $n < t$ todos los $n \in \mathbb{Z}$: uno dice que el elemento $t$ es infinitamente grande.
(ii) La automorphism $t \mapsto t+1$ preserva el orden.
En general, el conjunto de $X(K)$ de todos los órdenes en un campo de $K$ puede ser naturalmente dotado de la estructura de un espacio topológico: ver, por ejemplo, $\S 15.8$ de estas notas. Esto ya es una interesante estructura, y como hemos visto tiene un natural, pero no necesariamente libre-acción en el marco del grupo de $\operatorname{Aut}(K)$. (Es fácil ver que la acción es gratis al $K$ es un campo de número. Más allá de eso no sé mucho y estaría interesado para obtener más información).
Q3. ¿Cuáles son las consecuencias prácticas para tener estas dos maneras distintas? Si hay muchos, se puede resumir su tema? (Lea: ¿por qué es este un ejemplo contrario, excepto a las racionales y irrationals, o por qué es este contador ejemplo importante?)
En el análisis real yo no sé de ningún consecuencias reales de las consideraciones anteriores, y por encima de contraejemplo parece más bien periférica a mí: yo estaba un poco sorprendido al ver que en Gelbaum y Olstead del libro.
Sin embargo, el ejemplo es muy importante para la cultura en general y de la perspectiva. En general, cuando dos objetos están conjugadas en un grupo de acción, es a menudo difícil para preferir una sobre la otra: que implica una cierta ruptura de la simetría. Un efecto de esto es hacer algebraists los campos de la vista de manera más abstracta: no es totalmente útil para ver $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ como un subcampo de la $\mathbb{R}$, ya que rompe la simetría entre las $\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$. Una más sofisticados (y en última instancia más útil) perspectiva es empezar con algo más intrínseco de la definición de
$\mathbb{Q}(\sqrt{2}$) -- por ejemplo, como $\mathbb{Q}[t]/(t^2-2)$ -- y, a continuación, darse cuenta de que tiene exactamente dos incrustaciones en $\mathbb{R}$. La realización de esta idea, un campo de número de $K$ es de un número finito de grados de extensión de campo de $\mathbb{Q}$. No es difícil mostrar que cualquier número de campo puede ser embebido en el complejo los números de $\mathbb{C}$, por lo que se podría definir un campo de número como un subcampo de $\mathbb{C}$ con dimensión finita sobre $\mathbb{Q}$. Pero esta definición es sutilmente antinatural en la teoría de números: es mucho mejor para el seguimiento del conjunto de incrustaciones de $K$ a $\mathbb{C}$...
