Deje $A$ ser un operador acotado en un espacio de Banach $X$. Considere la función exponencial $x(t)=e^{tA}x:=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{t^nA^n}{n!}x$, para todos los $t\in \mathbb{R}$ donde $x\in X$. Si la función de $t\mapsto x(t)=e^{tA}x$ está delimitado en $\mathbb{R}$, entonces es uniformemente continua. De hecho, $x(t)$ es una solución de la ecuación diferencial ordinaria $$x'(t)=Ax(t).$$ De ello se sigue que $$x(t)=x(0)+\int_0^tAx(u)du.$$ A continuación, $$\left|x(t)-x(s) \right|=\left|\int_s^tAx(u)du\right|\leq \left|A\right| \left|x\right|_\infty \left|t-s\right|.$ $
Por lo $x(t)$ es incluso Lipshitz.
Podemos visualizar esta forma intuitiva en el caso de $X=\mathbb{R}$, la función de $x(t)=e^{ta}x$ es acotado si y sólo si $a$ es imaginario puro, por lo $x(t)$ tiene la forma $\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ que es uniformemente continua.
Mi pregunta se refiere al caso cuando se $A$ es una desenfrenada operador que genera una fuertemente continuo del grupo de operadores de $(T(t))_{t\in \mathbb{R}}$. Consideramos ahora la función de $x(t)=T(t)x$. Traté de hacer las mismas modificaciones que la función de $t\mapsto e^{tA}x$. A partir de algunas propiedades fuertemente continuo de los grupos, tenemos $\int_0^tT(u)xdu\in D(A)$ todos los $x\in X$ donde $D(A)$ es el dominio de $A$. Además $$x(t)=T(t)x=x+A\int_0^tT(u)xdu=x+A\int_0^tx(u)du$$ El uso de este traté de $$\left|x(t)-x(s) \right|=\left|A\int_s^tx(u)du\right|.$$ Pero me detuve aquí desde $A$ es no acotada. Así que mi pregunta es ¿qué podemos decir en este caso ? es $x(t)=T(t)x$ uniformemente continua si es limitado en $\mathbb{R}$ ?
