¿Puede f no estar en L1 si su transformada de Fourier está en L-infinito?

Question

Puede $f\notin L^1$ si su transformada de Fourier $\hat f \in L^\infty$ ?

Esta es una pregunta sobre el punto final de la dualidad Pontryagin. Sabemos que si una función está en $L^1$ entonces su transformada de Fourier se encuentra en $L^\infty$ . Esto es muy fácil de demostrar. Pero ¿qué pasa con la inversa? ¿Puede el $L^1$ norma de $f$ ser infinito incluso si el $L^\infty$ ¿la norma de su transformada de Fourier es finita?

Supongo que la respuesta a mi pregunta es SÍ, pero no veo cómo manejar este caso. ¿Alguna referencia?

Answer 1

La transformada de Fourier de la función característica de $[-1,1]$ es $\sin(\xi)/\xi$ (veces una constante que depende de las convenciones), que ciertamente no está en $L^1(\mathbb{R})$ .

Answer 2

Cuando no tomar en consideración la teoría de la distribución (es decir, el funcional delta de dirac), tenemos una función constante como contraejemplo, que está en $L^\infty$ pero no una transformada de Fourier de un determinado $L^1$ función.