Suma de series con números triangulares

Question

¿Puedes por favor decirme la suma de la serie?

$ \frac {1}{10} + \frac {3}{100} + \frac {6}{1000} + \frac {10}{10000} + \frac {15}{100000} + \cdots $

¿dónde el numerador es la serie de números triangulares?

¿Existe alguna manera sencilla de encontrar la suma?

Gracias.

Answer 1

$$S={1\over10}+{3\over100}+{6\over1000}+{10\over10000}+\cdots$$ $${S\over10}={1\over100}+{3\over1000}+{6\over10000}+\cdots$$ Restando, $${9S\over10}={1\over10}+{2\over100}+{3\over1000}+{4\over10000}+\cdots$$ Ahora haz lo mismo nuevamente, es decir, dividir por $10$ y restar, para obtener $${81S\over100}={1\over10}+{1\over100}+{1\over1000}+\cdots={1\over9}$$

Answer 2

Su expresión es igual a $g(1/10)$, donde $$g(x)=\frac{x}{2}\left((2)(1)+(3)(2)x+(4)(3)x^2+(5)(4)x^3+\cdots\right)$$

Tome la serie de potencias $1+x+x^2+x^3+\cdots$ para $\frac{1}{1-x}$ y diferénciela dos veces. Obtenemos $(2)(1)+(3)(2)x+(4)(3)x^2+\cdots$ si lo hacemos término por término, y $\frac{2!}{(1-x)^3}$ si lo hacemos de la forma habitual. Así que $$g(x)=\frac{x}{2}\cdot\frac{2!}{(1-x)^3}$$ (cuando $|x|\lt 1$, y en particular en $x=1/10$).

Observación: La idea se generaliza. El número triangular $n$-ésimo es $\binom{n}{2}$. La misma idea se puede usar para calcular $\sum \binom{n}{k}x^n$ para $|x|\lt 1$ y $k$ entero positivo fijo.

Answer 3

Pensé que podría agregar otra derivación (creada por mí). Esta es larga e implica descomponer la secuencia en sus términos más simples.

$1/10 + 3/100 + 6/1000 + \ldots$

$= 1/10 + (1+2)/100 + (1+2+3)/1000 + \ldots$ (por la definición de números triangulares.)

$= 1/10 + 1/100 + 2/100 + 1/1000 + 2/1000 + 3/1000 + \ldots$

(agrupando términos con numerador similar juntos)
$= (1/10 + 1/100 + 1/1000 + \ldots) + (2/100 + 2/1000 + \ldots) + (3/1000 + \ldots) + \ldots$ $= 1/9 + 2/90 + 3/900 + \ldots$

($1/9$ es un factor común)

$= 1/9 [ 1 + 2/10 + 3/100 + \ldots]$ $= 1/9 [ 1 + 1/10 + 1/10 + 1/100 + 1/100 + 1/100 + \ldots ]$

(después de reorganizar los términos)

$= 1/9 [ 1 + (1/10 + 1/100 + 1/100 + \ldots) + (1/10 + 1/100 + 1/100 + \ldots) + (1/100 + \ldots) + \ldots ] $ $= 1/9 [ 1 + 1/9 + (1/9 + 1/90 + 1/900 + 1/900 + \ldots) ]$

(los términos entre paréntesis representan una serie geométrica cuya suma es $10/81$)

$= 1/9 [ 1 + 1/9 + 10/81 ]$ $= 1/9 \times 100/81$ $= 100/729$