Límite de $\lim\limits_{x \to 0} \Bigl(\frac{\sin{x}}{x}\Bigr)^{1/x^{3}}$

Question

Cómo evaluar el límite: $$\lim_{x \to 0} \Bigl(\frac{\sin{x}}{x}\Bigr)^{1/x^{3}}$$

Creo que va a $1$ porque $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} =1$ y así poder de $1$ también debe ser $1$ . ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Edita. Resulta que este límite no existe, porque los límites unilaterales como $x \to 0+$ y $x \to 0-$ son diferentes. Consulta la respuesta de @Américo para más detalles.

El problema en tu idea se hará evidente una vez que tomes troncos: Define $L$ el límite. Entonces $$ \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\frac{\sin x}{x})}{x^3} . $$

Ahora bien, es cierto que el numerador se aproxima a $0$ como $x \to 0$ . Pero no puedo concluir inmediatamente que el límite es $0$ ya que se trata de un $0/0$ forma indeterminada. ¿Puedes ver la conexión con tu pregunta?

Supongo que debería sentirse más cómodo evaluando $0/0$ formas indeterminadas. ¿Puede seguir a partir de aquí? Como punto de partida, puede que desee deshacerse de la $\ln$ utilizando algunos teoremas límite estándar. (Pista: $\ln(1+h)$ como $h$ va a $0$ .)

Answer 2

Te equivocas. Por ejemplo, $$\lim_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e$$ Pero según tu planteamiento sería $1$ . Esto se debe a que $1^\infty$ es indefinido y no $1$ . Lo correcto sería utilizar el límite que he puesto como ejemplo para obtener: $$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^3}}=\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{\sin x-x}{x}\right)^{\frac{x}{\sin x-x}\frac{1}{x^3}\frac{\sin x-x}{x}}=\lim_{x\to 0}\,\,\,e\,\,^{\frac{\sin x-x}{x^4}}$$ Puede continuar desde aquí.

Answer 3

Sugerencia : Vuelva a escribir $\left( \dfrac{\sin x}{x}\right) ^{1/x^{3}}$ como $$\left( \frac{\sin x}{x}\right) ^{1/x^{3}}=e^{\left( \ln \left( \frac{\sin x}{x} \right) \right) /x^{3}}$$

y mira los límites laterales: $$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}e^{\left( \ln \left( \frac{\sin x}{x}\right) \right) /x^{3}}\neq \lim_{x\rightarrow 0^{-}}e^{\left( \ln \left( \frac{ \sin x}{x}\right) \right) /x^{3}}.$$

Sugerencia adicional demuestran que

$$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left( \ln \left( \frac{\sin x}{x}\right) \right) /x^{3}=-\infty ,$$

$$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left( \ln \left( \frac{\sin x}{x}\right) \right) /x^{3}=+\infty .$$

Answer 4

Sugerencia: Si me lo permiten, utilizaría la serie Maclaurin para $\sin(x)=x+\frac{x^3}{6}+O(x^5)$ . Luego, tras bucear por $x$ Obsérvese que $\lim\limits_{x\to0}(1+x^2)^{1/x^3}=\lim\limits_{x\to0}(1+x^2)^{(1/x^2)(1/x)}=\lim\limits_{x\to0}e^{1/x}$ .