He intentado encontrar matrices A, ortogonal y simétrica, es decir $A=A^{-1}=A^T$. ¿Sólo encontré muy especiales ejemplos como I, - I o la matriz $$\begin{pmatrix} 0 &0& -1\\ 0& -1& 0\\ -1& 0& 0 \end{pmatrix} $ una matriz con las propiedades deseadas sólo contienen los valores-1,0 y 1? ¿Que matrices de un determinado tamaño tienen la propiedad deseada?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para tu primera pregunta, la respuesta es no. Cada verdadero padre de Familia de la reflexión de la matriz es simétrica ortogonal de la matriz, pero sus entradas pueden ser bastante arbitrario.
En general, si $A$ es simétrica, es ortogonalmente diagonalisable y todos sus autovalores son reales. Si también es ortogonal, sus autovalores debe ser 1 o -1. De ello se desprende que cada simétrica ortogonal de la matriz es de la forma $QDQ^\top$ donde $Q$ es un verdadero ortogonal de la matriz y $D$ es una matriz diagonal cuya diagonal entradas son 1 o -1.
StormPooper
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$A$ es ortogonal y simétrica, así $A=A^{-1}$ y $A=A^{T}$. Más general, que $A$ sea un unitario y uno mismo-adjoint operador con espectro discreto en un espacio de Hilbert separable. Entonces $A=\exp [iW]$ $W$ uno mismo-adjoint y $A=A^{\ast }=\exp [-iW]$. Así $W=\sum_{n}\lambda _{n}P_{n}$ $\lambda _{n}\in \mathbb{R}$ y $P_{n}$ son proyectores ortogonales, $\lambda _{m}\neq \lambda _{n}$ $m\neq n$ y $P_{m}P_{n}=\delta _{mn}P_{m}$. \begin{equation*} A=\sum_{n}\exp [i\lambda _{n}]P_{n}=A^{\ast }=\sum_{n}\exp [-i\lambda _{n}]P_{n}, \end{Ecuación *} así $\exp [2i\lambda _{n}]=1$ a $\lambda _{n}=k_{n}\pi $, \in \mathbb{Z}$, which is either $+1$ or $-1$ $k_ {n}.
