Sin embargo, otro pelotas y cubos de problema

Question

Si $p_n$ denota la probabilidad que cuando $n$ bolas se ponen aleatoriamente en $n$ contenedores de entonces allí es por lo menos un cubo con exactamente una bola. Hay una razón simple (con solamente poca computación) ¿por qué $p_{n+1}>p_{n}$ si $n>3$? Este simple problema mira resulta para no ser demasiado simple, quizás porque ${p_{n}}/{p_{n-1}}$ resulta para ser aproximadamente el $e(1-{1}/{n})^{n-1}$ y por lo tanto, cualquiera que sea la diferencia, es extremadamente pequeño.

Gracias

Answer 1

¿Esto es incluso cierto? Me parece que $p_3=\frac{24}{27} \approx 0.88889$ $p_4=\frac{216}{256} =0.84375$ % que $p_4 \lt p_3$.

Con tres bolas y cubos veo $3$ formas de poner así que no hay papeleras tienen exactamente $1$ bola: meterlas todas en el mismo de tres compartimientos.

Con cuatro bolas y cubos veo $40$ formas de poner así que no hay papeleras tienen exactamente $1$ bola: o bien ponerlos todos en la misma de cuatro compartimientos, o ponerlos en dos de los cuatro compartimientos y dos en uno de esos y dos en el otro, así $4+{4 \choose 2}{4 \choose 2}$.