¿Esta pregunta puede ser un poco más metafísica: hay propiedades importantes sobre los puntos genéricos en un esquema? O mejor dicho, ¿por qué introducimos el concepto de punto genérico? No tengo muy claro la importancia de puntos genéricos en el estudio de sistemas. Por lo tanto, te lo agradeceria si alguien quisiera decir algo sobre cuestiones genéricas.
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Una manera de pensar acerca de los esquemas, que puede ser especialmente útil cuando el primer aprendizaje acerca de ellos, es como una manera de añadir un poco de estructura compleja variedades algebraicas. Esto se hace para que cualquier complejo de álgebra conmutativa $A$ tiene un 'espectro' $Spec(A)$, que generaliza la correspondencia entre nilpotent libre, finitely generado, conmutativa $\mathbb{C}$-álgebras y variedades.
La necesidad de los puntos, viene de la necesidad de $Spec(\mathbb{C}(x))$ a existir, y, más generalmente, $Spec(K)$ $K$ un campo de más de $\mathbb{C}$. Puedo reclamar $Spec(K)$ debe ser siempre un punto, junto con la información adicional de su estructura de campo. Esto es debido a cerrado subobjetos de $Spec(K)$ debe corresponder a la radical ideales en $K$, pero sólo hay uno ideal en $K$ (el cero ideal).
Entonces, ¿cómo llevar esto hasta el genérico puntos? Considere la posibilidad de $\mathbb{C}[x,y]$, y deje $p\in \mathbb{C}[x,y]$ ser un polinomio irreducible. A continuación, el anillo de $A=\mathbb{C}[x,y]/p$ es un dominio, y así se incrusta en su fracción de campo, que es isomorfo a $\mathbb{C}(\zeta)$ algunos $\zeta$. Esto le da un mapa de álgebras de $$ f:\mathbb{C}[x,y]\rightarrow \mathbb{C}(\zeta)$$ cuyo núcleo es el ideal generado por a $p$.
Lo que hace este ser, geométricamente? Queremos un doble mapa sobre afín a los esquemas de $$ F:Spec(\mathbb{C}(\zeta))\rightarrow Spec(\mathbb{C}[x,y])$$ Como una variedad, $Spec(\mathbb{C}[x,y])\simeq \mathbb{C}^2$. El anillo de $\mathbb{C}(\zeta)$ es un campo, y así el conjunto subyacente de $Spec(\mathbb{C}(\zeta))$ es un punto. Esto significa que el conjunto subyacente mapa de $F$ envía un único punto para algo en $Spec(\mathbb{C}[x,y])$.
Pero ahora piensa en lo que esta geométricas mapa está haciendo. Para cualquier función de $a$$Spec(\mathbb{C}[x,y])$, su retirada a lo largo de $F$$f(a)$. Esto sólo se desvanece si $p$ divide $a$, lo que significa que $a$ se desvanece a lo largo de toda la puesta a cero $Z(p)$. Esto significa que el mapa de $F$ debe de alguna manera el mapa de una Zariski-subconjunto denso de $Z(p)$, mientras que todavía sólo la asignación a un solo punto. Nos quedamos con que no hay otras opciones... debemos agregar un solo punto cuya Zariski de cierre de es $Z(p)$. Por lo tanto, genérico puntos de nacer.
Una rápida observación:
Clásica variedades corresponden a álgebras de finito tipo de más de un (algebraicamente cerrado) de campo. Sus puntos corresponden a la máxima ideales. Pero hay un montón de razones por las que uno debe considerar el más general de los anillos: el concepto de especialización requiere que los campos de la transcendance grado $>0$, aritmética geometría requiere álgebras sobre los anillos de enteros, la deformación de la teoría requiere artinian suena como $k[t]/(t^n)$ etc... por desgracia el marco de morfismos de anillos de $\phi:A\to B$ el inverso de la imagen de un máximo ideal NO es un ideal maximal. Así que usted no tiene un mapa de $\phi^{-1}: Spm(B) \to Spm(A)$ entre los máximos de los espectros como para álgebras de finito tipo sobre un campo (gracias a la Nullstellensatz). Pero tiene un mapa de $\phi^{-1}: Spec(B) \to Spec(A)$ entre el primer espectros. Para una clásica compleja variedad esto significa que usted necesita para añadir exactamente un punto por cada no de máxima primer ideal, es decir, cada irreductible cerrado subconjunto distinto al habitual (cerrado) puntos. Y para este pequeño esfuerzo se obtiene una teoría que es mucho más flexible.
