¿Existe un pentágono plano regular?

Question

Cómo demostrar o refutar que el límite de cualquier cuerpo convexo en $\mathbb{R}^3$ (tratada como una superficie) incluye 5 puntos que forman un pentágono plano regular?

Answer 1

Se trata de un caso especial planteado por Han de Bruijn: sí, se puede inscribir un pentágono plano regular en un tetraedro regular.

Y eso se puede hacer de muchas maneras, probablemente. Esta es una de ellas.

Tomemos un tetraedro regular $ABCD$ con la longitud de la arista igual a $1$ . Sea $E$ sea un punto de la $BC$ borde a distancia $x$ de $B$ . Asimismo, $F$ en $DC$ , $x$ aparte de $D$ .
El triángulo $\triangle EFA$ es isósceles, degenerando continuamente desde el equilátero $\triangle BDA$ al segmento $CA$ como $x$ cambios de $0$ a $1$ .
Esto significa que $\epsilon = \angle EAF$ cambios de $60^\circ$ a $0$ . 'En algún momento' durante el cambio es $\epsilon = 36^\circ$ . ¿Dónde?

Dejemos que $y=AE=AF$ y $z=EF$ . Debido a la ley de los cosenos en $\triangle ABE$ $$y^2 = 1^2 + x^2 - 2\cdot 1\cdot x\,\cos(\angle ABE) = x^2 + x + 1$$ y por la similitud $\triangle EFC \sim \triangle BDC$ $$EF = EC\times BD:BC$$ $$z = 1-x$$

En el isósceles $\triangle EFA$ $$\sin\frac\epsilon 2 = \frac z2:y$$ Queremos $\epsilon=36^\circ$ : $$\left .\sin 18^\circ = \frac{1-x}{\sqrt{x^2+x+1}} \ \ \right\vert \big(\big)^2$$ $$\sin^2 18^\circ = \frac{x^2-2x+1}{x^2+x+1} = 1 - \frac{3x}{x^2+x+1}$$ $$\cos^2 18^\circ = \frac{3x}{x^2+x+1}$$ $$x^2+x+1 = \frac{3x}{\cos^2 18^\circ}$$ $$x^2+\left(1-\frac{3}{\cos^2 18^\circ}\right)x+1 = 0$$ La expresión entre paréntesis es aprox. $-2.317$ y una de las raíces cae entre $0$ y $1$ : $$x\approx 0.573$$ Una vez que tenemos $36^\circ$ en $A$ podemos encajar un pentágono regular $JKLMN$ dans le $\triangle EFA$ para que $JK \subset FA$ , $LM \subset AE$ , $KL \parallel EF$ . Si es demasiado pequeño o demasiado grande, escálelo de manera que $N$ se convierte en el punto medio de $EF$ .