Demostrar que $2002^{2001}$ $2002^{2001}+2^{2001}$ tienen el mismo número de dígitos.

Question

Tengo una media aritmética ejercicio de la siguiente manera: Demostrar que $2002^{2001}$ $2002^{2001}+2^{2001}$ tienen un mismo número de dígitos. Parece fácil, pero no sé cómo hacerlo. Que puedo hacer si $2002$ es reemplazado por $2000$. Las sugerencias se agradece.

Muchas gracias!

Answer 1

Para aquellos que se enteró de los hechos clave sobre los logaritmos en su juventud, aquí es una manera a través de la cual no pueden apelar a OP (aunque si decente tablas de registro de cinco dígitos están disponibles esto va a hacer - me hizo uso de hechos que yo recuerde).

El primer numero es $$M=2^{2001}\cdot1001^{2001}$$

El segundo es $$N=2^{2001}\cdot\left(1001^{2001}+1\right)$$

Ahora bien, si tomamos los registros a la base $10$ $$\log M=2001 \log 2+2001 (3+\log 1.001)$$

Queremos estimar que el primer dígito (o algunos) de $M$ y, por tanto, la parte decimal del logaritmo de una figura significativa o dos.

Ahora $\log 2 =0.30103$ más cercana a la $0.00001$ $2001 \log 2$ está dentro de los límites $602.36\pm 0.02$

$\ln 10 \approx 2.303$ (a menos de 0,05%) y $\ln 1.001 \approx 0.001$ (fácilmente dentro de 0,5%) por $\log 1.001 =\cfrac {\ln 1.001}{\ln 10} \approx 0.00043$$2001 \log 1.001 \approx 0.86$, ciertamente, dentro de $2\%$ lo que dicen los $\pm 0.02$

De modo que la parte fraccionaria del logaritmo es$0.86+0.36\pm0.04=1+0.22\pm 0.04$, lo que hace que el primer dígito $1$.

Si el primer dígito es $1$, al aumentar el número de menos de 1% no va a aumentar el número de dígitos.

Answer 2

Básicamente, el número de dígitos de un número decimal N está dado por $\lfloor{\log_{10}N}\rfloor + 1$

La clave es encontrar una estimación para el logaritmo en base 10 de un número.

Comenzar con la expansión de Taylor de $\ln(1+x)$ y convertir a una base-10 log.

A continuación, intentar averiguar cómo utilizarla para calcular una serie de $\log_{10}(2002^{2001} + 2^{2001})$

Ahora a ver si se puede manipular en demostrar que el resultado es muy cercano a $\log_{10}2002^{2001}$. Más precisamente, se quiere demostrar que el piso de la base-10 registro de un número es igual a la del piso de la base-10 registro de la otra.

Answer 3

Tenga en cuenta que $2002^{2001} \gt 2^{2001}\cdot 1000^{2001}$, por lo que no habrá de llevar a menos $2002^{2001}$ se inicia con más de $6000\ \ 9$'s. $\log_{10} {2002}^{2001}=2001\log 2002\approx 2001\cdot (3.30103+\log_{10} 1.001)$ y la parte decimal es la medida de $0.9999$

Answer 4

$\ln (a + b) = \ln (a(1 + \dfrac{b}{a})) = \ln a + \ln (1 + \dfrac{b}{a})$.

El número de dígitos en la base 10 numeral por entero $n > 0$ es $\lceil \log_{10}n \rceil$. $\log_{10} n = \dfrac{\ln n}{\ln 10}$

Deje $a = 2002^{2001}$ $b = 2^{2001}$

$\lceil \log_{10} a \rceil = \left\lceil \dfrac{\ln a}{\ln 10} \right\rceil = \left\lceil \dfrac{\ln 2002^{2001}}{\ln 10} \right\rceil=\left\lceil \dfrac{2001 \ln 2002}{\ln 10} \right\rceil = \lceil 6606.2296\dots\rceil = 6697$

$$\begin{align} \\ \lceil \log_{10} (a + b)\rceil &= \left\lceil \dfrac{\ln (a+ b)}{\ln 10} \right\rceil \\ & = \left\lceil \dfrac{\ln a + \ln (1 + \dfrac{b}{a})}{\ln 10} \right\rceil \\ & = \left\lceil \dfrac{\ln a + \ln \left(1 + \left(\dfrac{2}{2002}\right)^{2001}\right)}{\ln 10} \right\rceil \\ & = \left\lceil \dfrac{\ln a + O(10^{-6003})}{\ln 10} \right\rceil \\ & = \left\lceil \dfrac{\ln a}{\ln 10} + O(10^{-6003}) \right\rceil \\ & = \left\lceil 6606.2296\dots + O(10^{-6003}) \right\rceil \\ &= 6697 \end{align}$$