Esta no es una tarea problema. Soy un matemático (grupo de representaciones y análisis clásico) que nunca estudió la teoría de los números y estoy empezando con Niven del libro.
Mi pregunta se refiere a la segunda parte de un problema a partir del Capítulo $1, \S 3$ de Niven Introducción a la Teoría de números:
He hecho la primera parte. Aquí está:
Con $\pi(x)$ = número de números primos $\leq x,$ demostrar que la suma de los recíprocos de los números primos $\leq x$ es igual a
$$\frac{\pi(x)}{x} + \int_{2}^{x} \frac{\pi(u)}{u^{2}}du,$$
es decir,
$$\sum_{p\leq x } \frac{1}{p} = \frac{\pi(x)}{x} + \int_{2}^{x} \frac{\pi(u)}{u^{2}}du $$
Estoy a la caza de una sugerencia sobre cómo hacer la segunda parte: Usar el teorema de $1.19$ (a continuación) para demostrar que
$$\limsup_{x\rightarrow \infty}~\frac{\pi (x)}{x/\log x} \geq 1$$
Teorema $1.19$ dice:
Para cada una de las $y\geq 2,$ la suma de los (recíprocos de los números primos $\leq y$)
$$\sum_{p\leq y} \frac{1}{p} > \log \log y - 1 $$
No tengo idea de cómo empezar esto. Me doy cuenta de que este problema está pidiendo lo que parece un parcial la prueba del Teorema de los números Primos, pero aparece en el Niven del libro mucho antes de que él plenamente las direcciones de los PNT. He intentado utilizar MathJax, con gran dificultad.
