Disminución de la secuencia de conjuntos de

Question

$X$ es un espacio topológico. Deje $A_n$ ser un no-aumento de la secuencia de subconjuntos de este espacio:

$$ A_n\supseteq A_{n+1} $$

y todos los $A_n$ son conjuntos compactos. Es cierto que $A_\infty = \bigcap_n A_n$ está vacío si y sólo si $A_N$ está vacía para algunos $N$? Si sí, ¿cómo demostrarlo? Por otra parte, es $A_\infty$ compact?

Answer 1

Usted necesita asumir que $A_1$ es compacto y que los conjuntos de $A_{n}$ están cerrados (que por supuesto es automático en su hipótesis de si $X$ es Hausdorff). Un tonto contra-ejemplo cuando el $A_n$ no cerrado: Tome $A_n = [n,\infty)$ $X = \mathbb{R}$ con la topología trivial.

Si el $A_n$ están cerrados sets, tenga en cuenta que $\bigcap A_n = \emptyset$ implica que el $U_n = A_1 \smallsetminus A_n$ es una cubierta abierta de a$A_1$, pasando complementa. La aplicación de la compacidad de $A_1$ vemos que un número finito de la $U_n$ ya cubierta $A_1$. Pasando a complementos de nuevo y el uso que los conjuntos anidados $A_n \supseteq A_{n+1}$, podemos ver que $A_N$ debe estar vacío para $N$ lo suficientemente grande.

Por supuesto, si estamos suponiendo que cada una de las $A_n$ cerrado y $A_1$ compacto, a continuación, $A_{\infty}$ es compacto, cerrado desde entonces los subconjuntos de un conjunto compacto es compacto.

Ver también la página de Wikipedia en la intersección finita de la propiedad que da como resultado uno de los muchos equivalente caracterizaciones de compacidad.