Cuando uno comienza a aprender acerca de la física, los vectores se presentan como las matemáticas de las cantidades en el espacio y que tiene una dirección y una magnitud. Este punto de vista geométrico se ha codificado en la idea de que en virtud de un cambio de base de los componentes del vector debe cambiar contravariantly tal que la magnitud y la dirección se mantienen constantes. De este modo se limita a lo físico ideas pueden ser los componentes de un vector (algo mucho mejor explicado en Feynman de Conferencias), de modo que los tres funciones arbitrarias de no formar un honesto vector $\vec{A}=A_x\hat{x}+A_y\hat{y}+A_z\hat{z}$ en alguna base. Así, en la relatividad de un vector se define "geométricamente" como la derivada direccional de los operadores sobre las funciones en el colector $M$ y esto implica, si $A^{\mu}$ son las componentes de un vector en el sistema de coordenadas $x^\mu$, entonces las componentes del vector en el sistema de coordenadas $x^{\mu'}$
$$A^{\mu'}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu}A^\mu$$
(todo esto viene del hecho de que los operadores de $\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\partial_\mu$ formar una base para la derivada direccional de los operadores, consulte Sean Carrol del espacio-Tiempo y la Geometría)
Mi problema es el hecho de que mucha gente utiliza las coordenadas $x^\mu$ como un ejemplo de un vector, cuando, en una arbitraria de transformación,
$$x^{\mu'}\neq\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu}x^\mu$$
Entiendo que esta ecuación es verdadera si la transformación entre las dos coordenadas es lineal (como es el caso de una transformación de lorentz entre sistemas de coordenadas cartesianas) pero creo que esto no puede ser cierto en general. Estoy en lo cierto en que la posición no se forma de un cuatro-vector? Si no, puede usted decirme por qué mi razonamiento es defectuoso?
Respuestas
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Estás en lo correcto.
La posición es un vector cuando se trabaja en un espacio vectorial, ya que, además, es un espacio vectorial. Incluso entonces, si usted utiliza un no lineal del sistema de coordenadas, las coordenadas de un punto que se expresa en este sistema de coordenadas no se comportan como un vector, ya que una no lineal del sistema de coordenadas es, básicamente, una relación no lineal mapa del espacio vectorial a $\mathbb{R}^n$, y no lineal de los mapas no preservan la estructura lineal.
En un colector, no tiene sentido intentar "vectorizar" puntos. Un punto es un punto, un elemento del colector, un vector es un vector, elemento de un espacio de la tangente en un punto. Por supuesto, usted puede asignar puntos en $n$-tuplas, que es parte de la definición de un topológica del colector, pero no hay ninguna razón por la inversa de este mapa debe llevar a la estructura lineal sobre el colector.
Y ahora, para una opinión puramente personal: Mientras que Carroll libro es muy bueno, el del físico manera de intentar categorizar todo por "propiedades de transformación" es extremadamente contraproducente, y lleva a malentendidos, ya que han pasado aquí. Si uno aprende la correcta colector de la teoría, esto es claro desde el principio...
Gran razonamiento: como en Uldreth fantástica respuesta , pero me gustaría añadir una cosa más que puede ayudar a consolidar su buen entendimiento en el lugar.
Las coordenadas son absolutamente no vectores, que son las etiquetas en los gráficos, y no son más que los vectores de la dirección de la calle es un vector. Casi seguro que la gente de la razón de hacer la insinuación de que se han identificado correctamente como el mal, es este: en el plano en el espacio (es decir, Euclidiana, Minkowski o, en general, firmada espacios), afín a las coordenadas de las posiciones puede tener dos funciones: son ambas etiquetas y (una vez que uno ha elegido un origen) superposición de pesos que se combinan base lineal tangentes a la distancia Euclídea (Minkowski ...) colector linealmente para el rendimiento general de la tangente a la multiplicidad. Si usted piensa acerca de ello, lo que he dicho es un poco diferente de tomar en Uldreth del segundo párrafo que comienza "la Posición es un vector ...".
Vale la pena decir que definitivamente voy a recordar la siguiente secuencia de aprendizaje como un adolescente. Al comienzo de la escuela secundaria a la edad de 11 años, yo era la primera muestra de coordenadas (Cartesianas, por supuesto) como etiquetas. Sospecho que esta es la forma en que se presentó a todos los niños. Puedo recordar claramente la idea de que sólo dos años más tarde fue la idea (que sólo funciona para Cartesiano y, en general afín a las coordenadas de un punto de coordenadas como una posición del vector introducido. Antes de que yo tenía una idea muy clara de un vector como un desplazamiento o enlace entre dos puntos, una idea que, a través de la adecuada límite, conduce a la tangente idea en general del colector. En la lectura de su pregunta, me río cuando recuerdo el de los maestros, lo que implica que la segunda función de las coordenadas como vectores de posición era un "nuevo y avanzado" manera de mirar a los vectores, mientras que por el contrario es una forma de pensar que entienden correctamente a ser muy limitado y sólo realizable en el afín caso.
Aquí está una bare bones manera fácil de ver que coordinar las tuplas no 4-vectores.
De inicio en un sistema inercial sistema de coordenadas en el plano espacio-tiempo. Cambiar el sistema de coordenadas con una constante de traducción:
$x' = x + A $
$y' = y$
$z' = z$
$t' = t$
Incluso en este idealista caso, 4-vectores y coordinar las tuplas de transformar de manera diferente. Los componentes de los 4-vectores no cambian en absoluto en este caso, mientras que el de coordinar las tuplas de hacer.
