¿Por qué es el conjunto vacío en el estándar de la topología?

Question

La norma de "topología" (poner en las citas porque no he verificado que es de hecho una topología sin embargo) es definida por $$\mathcal U \in \mathcal O_\text{standard} \iff \forall p\in \mathcal U \exists r\in \Bbb R^+ : B_r(p)\subseteq \mathcal U$$

Ahora estoy revisando si se trata de una topología y estoy colgado arriba en la primera propiedad.

Si $\emptyset\in \mathcal O_\text{standard}$, entonces para cada a $p\in \emptyset$ existe $\dots$ Pero no es $p\in \emptyset$ por nosotros para revisar el resto de la condición. Entonces, ¿cómo se nos permite concluir que $\emptyset \in \mathcal O_\text{standard}$?

Answer 1

Diferente inclinación lo que otros han dicho, la declaración de

"Cada $x \in U$ tiene la propiedad de $p(x)$" es equivalente a

"No es $x\in U$ que carece de la propiedad $p(x)$."

En el caso de que el conjunto vacío $\varnothing$, por lo tanto, estamos autorizados a decir que "Todos los $p\in \varnothing$ tiene la propiedad de que existe, etc ..." porque no puede encontrar un $x\in \varnothing$ que no tiene la propiedad. (De hecho, usted no puede encontrar cualquier $x\in \varnothing$!)

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Una segunda manera informal para entenderlo : si todos los $x\in A$ propiedad $p(x)$, y cada una de las $x\in B$ propiedad $p(x)$, entonces intuitivamente que quiere decir que todos los $x\in A \cap B$ propiedad $p(x)$. La ampliación de esta intuición para el caso de que $A$ $B$ no tienen elementos en común, $(A\cap B = \varnothing)$ nos conduce a la idea de vacío cuantificación universal.

Answer 2

Esto no tiene nada que ver con la topología: es solo lo básico de la lógica. Una declaración de la forma "para todos los $x$$X$, entonces...", donde $X$ está vacía, es vacuously verdadero.

Answer 3

Puede separar los cuantificadores:

$$ \forall x\in S: P(x) \quad\equiv \quad\forall x: (x \in S) \implies P(x) $$ $$ \exists x\in S: P(x) \quad\equiv \quad\exists x: (x \in S) \wedge P(x) $$

por tanto, la fórmula escribió significa la misma cosa que

$$ \forall p : p \in \mathcal U \implies \left( \exists r : r \in \Bbb R^+ \wedge B_r(p)\subseteq \mathcal U \right) $$

para el caso de $\mathcal{U} = \varnothing$ no tiene usted la cuantificación de más de un dominio vacío. Y puesto que el antecedente es siempre falso, el condicional es siempre (vacuously) verdadero.

De hecho, siempre tenemos

• $\forall x \in \varnothing : P(x)$ es una tautología
• $\exists x \in \varnothing : P(x)$ es una contradicción

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Algunos enfoques para hacer lógica rechazan vacío dominios, y el uso de reglas de deducción de que sólo el trabajo para no vacío dominios, tales como:

$$ (\forall x \in \mathcal{D} : P(x)) \implies (\exists x \in \mathcal{D} : P(x)) $$

Esto debe parecer familiar, ya que es bastante similar a la objeción que había!

Sin embargo, esta implicación no se sostiene sin la hipótesis de que la $\mathcal{D}$ es no vacío. Un ejemplo de una corrección de la deducción de la regla es:

$$ (\forall x \in \mathcal{D} : P(x)) \implies (\mathcal{D} = \varnothing) \vee (\exists x \in \mathcal{D} : P(x)) $$

Así que tenga esto en mente — las reglas de la lógica que habéis aprendido, sea formal o informalmente, en realidad puede ser malo para el caso de que vacía los dominios de cuantificación están permitidos, así que hasta que se utilizan para el caso más general, siempre tratar dichas posibilidades con cuidado.