Si no recuerdo mal, cuando un tóricas variedad es suave o simplical (el momento polytope es simplicial racional), entonces no es extraño dimensiones cohomology grupo y la dimensión de dimensiones cohomology grupo se pueden encontrar en términos de h-polinomio. Lo que sobre el caso cuando el polytope no es simplicial racional? Hay ejemplos donde la $H^1(X,\mathbb{Q})$ es trivial?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
- En general, el primer cohomology grupo de más de $\mathbb{Q}$ está dado por$$H^1(X, \mathbb{Q}) = \text{Hom}(\pi_1(X), \mathbb{Q}),$$where $\pi_1(X)$ is the fundamental group. The toric variety $X$ of a complete fan has trivial fundamental group, so$$\pi_1(X) = H^1(X, \mathbb{Q}) = 0.$$
- Como me siga, yo creo que el más extraño cohomology puede ser distinto de cero cuando la tóricas variedad de polytope no es simplicial. Es posible que esta referencia aquí podría tener algo útil.
- A. Jordán. Homología y Cohomology de Variedades Tóricas, Konstanzer Schriften en Mathematik und Informatik Nº 57, Febrero de 1998.
- Podemos tener impar homología cuando el polytope no es lisa, el primer ejemplo de esto fue encontrado por uno de los alumnos de Fulton (McConnell, creo) y se menciona en Cox/Poco/Schenck del Tóricas de Variedades, probablemente en el Capítulo 10.
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Estás en lo correcto de que la impar-dimensional cohomology grupos son cero para un buen o un simplicial tóricas de la variedad. En otros casos, algunas extrañas dimensiones cohomology puede ser distinto de cero, pero el grupo específico que le pidieron, a saber,$H^1(X, \mathbb{Q})$, es de hecho nunca nada, sino $0$ compacto variedades tóricas (puede ser distinto de cero para noncompact tóricas de las variedades correspondientes a noncomplete de los ventiladores). La mejor manera que conozco para demostrar que es "profundizar en" las propiedades del método de cómputo de la cohomology espectral a través de secuencias. Este fue desarrollado por Fischli y Jordania, y los conceptos básicos se presentan en el Capítulo 12 de la Cox/Poco/Schenck del Tóricas de Variedades. Pero Jordan tesis se presenta más detalles y que en realidad es bastante legible. La lectura puede ser una buena manera de aprender acerca de los espectral de las secuencias y el uso de la secuencia espectral de la filtración por torus órbitas si tienes tiempo y estás interesado. La tesis nunca fue publicada, pero es en línea aquí. El resultado específico que muestra $H^1(X, \mathbb{Q})$ es siempre cero es la afirmación de la parte (c) del Corolario 2.4.9 acerca de la $E_2^{1, 0}$ plazo en el espectro de la secuencia.
- A. Jordán. Homología y Cohomology de Variedades Tóricas, Konstanzer Schriften en Mathematik und Informatik Nº 57, Febrero de 1998.
