Si un grupo finito $|G|$ actúa transitivamente sobre un conjunto $X$ con $|X|=2^n$, $n \geq 1$, a continuación, $G$ tiene una involución sin puntos fijos

Question

Deje $G$ ser finito grupo que actúa transitivamente sobre un conjunto $X$ donde $|X| = 2^n$ algunos $n \geq 1$. Mostrar que algún elemento de $G$ actúa como una involución sin puntos fijos.

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Aunque es bastante fácil demostrar que

• algún elemento de G actúa sin puntos fijos (como un fácil corollory de Burnside del lexema)
• algún elemento de G actúa como una involución (como el de la Órbita Estabilizador teorema, $|G|$ es aún)

parece ser un poco más difícil demostrar que existe un elemento de a $G$ cual es de estos. La única enfoques que se me ocurre es para mostrar que de alguna manera algunos de Sylow $2$-subgrupo de $G$ corrige sin puntos (pero me cabe duda de que es cierto), o el número de elementos sin puntos fijos cuando actúa en $X$ es impar (como entonces nos gustaría ser hecho por $g$ no tiene puntos fijos iff $g^{-1}$ no tiene ninguno), pero también dudo que esto es cierto.

¿Alguien tiene alguna mejor idea?

Answer 1

Considere el siguiente.

• La sustitución de $G$ $G/\ker(\phi)$ donde $\phi$ es la acción homomorphism $\phi:G\to Sym(X)$ nos permite asumir que los no-elemento de identidad de $G$ actos trivialmente en $X$.
• Deje $P$ ser un Sylow 2-subgrupo de $G$. Yo reclamo que $P$ también actúa transitivamente sobre $X$.
• Sylow la teoría nos dice que $P$ tiene un número impar de conjugados en $G$, llamar a ese número $\ell$. Debido a $G$ actúa transitivamente sobre $X$, todo el punto de estabilizadores- $G_x$ son conjugado, y por lo tanto contienen el mismo número de conjugados de $P$, llamar a ese número $m$. Del mismo modo, todos los conjugados de la $P$ solucionar el mismo número de puntos, de llamar a ese número $k$. Vamos a contar en dos formas diferentes, el número de pares de $(P',x)$ tal que $P'$ es un Sylow 2-subgrupo de $G$ contenida en un punto estabilizador $G_x$ algunos $x\in X$. Esto nos da la ecuación $$ k\ell=|X| m=2^n m.$$ Here $\ell$ is odd, so $2^n\mediados de k$. So unless $k=0$ $P$ must act trivially on $X$, i.e. we must have $P=\{1_G\}$. But this is clearly impossible, because $|X|\mid |G|$. Thus $k=0$.
• Sabemos que el centro de la $P$ es no trivial de la 2-grupo (nilpotent grupos no-trivial de los centros). Por lo tanto existe un elemento $s\in Z(P)$ orden $2$.
• El elemento $s$ no puede pertenecer a un punto-estabilizador $P_x$, porque si pertenecía a una $P_x$, pertenecen a todos ellos. Esto es debido a que $s$ formas de singleton clase conjugacy dentro de $P$, e $P$ actúa transitivamente sobre $X$, por lo que el punto de estabilizadores- $P_x$ son todos conjugado en $P$. El elemento $s$ es también una involución.