Si $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ son independientes idénticamente distribuidas variables aleatorias con densidad de $f$, incluso, continua en $0$ que $f(0)>0$, luego $$\frac{1}{n}\left(\frac{1}{X_1}+\dots + \frac{1}{X_n}\right)\xrightarrow{d}Z$$ With $Z$ r.v. con la distribución de Cauchy.
Respuesta
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Por Lévy continuidad teorema es suficiente prueba de que $\left(\varphi_{1/X_1}(t/n)\right)^n \rightarrow e^{-a|t|}$,$\varphi_X(t):=E^X\left[e^{itX}\right]$.
Es un hecho bien conocido que si $(c_n)_{n\in \mathbb{N}}$ es una compleja sucesión con límite de $c$$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+c_n/n\right)^n=e^c$.
En este caso,$c_n=n\left(\varphi_{1/X_1}(t/n)-1\right)=nE^{1/X_1}[e^{(it)/(nX_1)}-1]$. Debido a $f$ es incluso, $c_n=nE^{1/X_1}[cos(t/(nX_1))-1]$.
Entonces $\lim_{n\to +\infty}c_n=\lim_{n\to +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}n\frac{cos(tx/n)-1}{x^2}f(1/x) \ dx$$=\lim_{n\to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty}-n|t|(1-cos(1/(ny)))f(ty) \ dy$
con $y:=1/(tx)$.
Si $\rho (y)=1-cos(1/y)$ $\rho_n(y)=n\rho(ny)$ $\int \rho=\int \rho_n =\pi$ $\rho_n$ tienen masas que se concentran en $0$. Por lo $\lim_{n\to +\infty}c_n=-\pi f(0)|t|$ y tenemos la tesis.
