Historia de la teoría de ecuaciones: John Colson

Question

Esta es una versión EDITADA de mi pregunta original:

Recientemente me ha interesado la historia de la Teoría de Ecuaciones. Sucede que aprendí sobre este matemático llamado John Colson, publicó un papel muy interesante: Aequationum Cubicarum & Biquadraticarum, tum Analytica, tum Geometrica & Mechanica, Resolutio Universalis en Philosophical Transactions, fue contemporáneo de De Moivre, aunque él publicó su fórmula infame en 1722, también en Philosophical Transactions (he hecho una pregunta sobre eso antes) y Colson en 1706.

Ahora, respecto al papel, recuerda, no soy fluido en latín, así que podría haber cosas que me pierda. Presenta su trabajo con las tres raíces de una ecuación cúbica universal dada, y la forma en que las presenta es representándolas como una combinación lineal de las raíces de la unidad, primero muestra con 7 ejemplos que considerar las raíces de esa manera ¡funciona!
Posteriormente a los ejemplos, efectivamente muestra cómo llegó a que las raíces pueden escribirse así. Estaba pensando en escribir todo el procedimiento, pero es muy largo, y de hecho es muy comprensible a partir del papel. Sin embargo, si deseas saber mi interpretación de una oración en particular, estoy prácticamente terminando con la traducción (solo la parte cúbica), solo recuerda que no soy fluido en latín, y probablemente cometí grandes errores con la interpretación.

Considero su trabajo muy original para su época, no sé cuándo se introdujo el uso de las raíces de la unidad, probablemente antes que él, pero definitivamente les dio un papel, ya que (casi) todo relacionado con la resolución de esas ecuaciones parecía estar muy basado en geometría, es decir, muchas de las cosas que la gente usaría para resolver la cúbica, por ejemplo, se derivaron de propiedades geométricas, podemos ver que él trabaja en sentido contrario, recuerda el nombre del artículo: "Solución universal de las ecuaciones bicuadradas y cúbicas, tanto analíticas como geométricas y mecánicas", de álgebra obtiene la geometría.

No sé si tiene mucho sentido, pero veamos si esta imagen ayuda. Creo que esto es algo que dijo Descartes, no recuerdo muy bien, pero esta era la forma en que la gente de la época de Colson solía pensar.

Lo que esto representa, es que si tienes un problema en geometría, entonces puedes representarlo con álgebra, y si tienes un problema en álgebra, entonces pertenece a un problema en geometría. Espero que esto ayude a ilustrar mi punto.
(Por cierto, Galois, Abel y otros más tarde nos mostraron que esto no es cierto)

Ahora, el punto de mi pregunta es si Colson podría representar el inicio de la independencia del álgebra respecto a la geometría. Si miramos el panorama general, y dado que muchos de nosotros nacimos en el siglo XX, sabemos cómo va a terminar esto, ¿sería muy ingenuo de mi parte considerar a Colson como este tipo de héroe? ¿Quién podría ser un mejor representante para esto?

¡Gracias!

Answer 1

Capítulo 5 ( Raíces como sumas de radicales , págs. 104-120) del libro de Stedall (información bibliográfica más abajo) se discute:

1. El documento de John Colson por el que preguntabas (principalmente en las páginas 104-106).
2. Un artículo de de Moivre publicado en el mismo volumen de las Philosophical Transactions que sigue inmediatamente al artículo de Colson.
3. El impacto de los trabajos de Colson y de Moivre en algunas de las investigaciones de Euler en la década de 1730.
4. Investigaciones relacionadas de Euler y Bezout que se publicaron en 1764. (El trabajo de Euler se comunicó originalmente a la Academia de Berlín en 1753, pero la publicación asociada no apareció impresa hasta 1764).

Jacqueline Anne Stedall, Del gran arte de Cardano a las reflexiones de Lagrange: Llenar un vacío en la historia del álgebra , Heritage of European Mathematics, Sociedad Matemática Europea, 2011, xii + 224 páginas. MR 2012a:01012; Zbl 1231.01006

Extracto de las páginas 104-106 del libro de Stedall

En 1545 Cardano había escrito con cierta extensión sobre el número de raíces positivas o negativas que se podía esperar encontrar para una ecuación cúbica o cuádrica dada (ver páginas 14-16). Escribió mucho más brevemente sobre la formulario esas raíces podrían tomar (página 16). En su opinión, la solución de una ecuación cuadrática era la suma de un racional y una raíz cuadrada, mientras que la solución de una ecuación cúbica era la suma de un racional y dos raíces cúbicas. No discutió explícitamente la estructura de las raíces de las ecuaciones cuádricas, que por experiencia sabía que eran bastante más complicadas (para un ejemplo, véase la página 14). Su único comentario sobre las ecuaciones de grado superior era que una quinta raíz, por ejemplo, sólo podía satisfacer una ecuación del tipo más sencillo, una quinta potencia igual a un número; a la inversa, tales ecuaciones no podían satisfacerse mediante la suma de dos o más raíces de este tipo.

A partir de ahora, para evitar la confusión entre las raíces de los números y las raíces de las ecuaciones, utilizaremos el término "radicales" para describir las raíces cuadradas, cúbicas y todas las raíces superiores de los números enteros o racionales. Éstas son fundamentales para el contenido de este capítulo.

Hasta los primeros años del siglo XVIII, ningún otro autor consideró explícitamente la forma que podían adoptar las raíces de las ecuaciones. Cuando Dulaurens, en 1667, resolvió algunas ecuaciones especiales de grados $5,$ $7,$ y $11$ resultaron tener raíces compuestas por sumas de pares de radicales de grados $5,$ $7,$ y $11,$ respectivamente, pero Dulaurens no hizo ningún comentario al respecto. En París, en 1675, Leibniz y Tschirnhaus persiguieron brevemente la idea de las raíces como sumas (u otras expresiones) compuestas por radicales, pero Leibniz se quejó del trabajo que suponía intentar eliminar los signos radicales, por lo que la idea quedó en nada y nunca se publicó (ver páginas 64-65). En la primavera de 1707, sin embargo, se publicaron dos trabajos sobre ecuaciones en el Transacciones filosóficas de la Royal Society El primero de John Colson, el segundo de Abraham de Moivre. Ambos introdujeron nuevas conjeturas sobre la estructura de las raíces de las ecuaciones. El artículo de De Moivre, en particular, fue el punto de partida matemático para los desarrollos que se describen en este capítulo, y fue citado con frecuencia por escritores posteriores.

En este capítulo analizaremos primero los trabajos de Colson y de Moivre. A continuación, examinaremos el modo en que las ideas presentadas en ellos fueron adoptadas primero por Euler, que no tardó en detectar su potencial, y más tarde también por Étienne Bezout. La consecuencia fue que Euler y Bezout fueron capaces, de forma independiente pero casi simultánea, de desarrollar una nueva e importante técnica de resolución de ecuaciones, que se describirá en la parte final de este capítulo.

John Colson, nacido en 1680, ingresó en Christ Church, Oxford, en 1699, pero no llegó a licenciarse. Diez años más tarde ocupó un puesto de profesor en la nueva escuela de matemáticas de Rochester, en Kent. En 1739 se convirtió en profesor de Cambridge y, ese mismo año, en el quinto profesor lucasiano. A pesar de ocupar un puesto tan prestigioso, la producción matemática de Colson a lo largo de su vida fue poco significativa. Era más conocido como editor y traductor de textos matemáticos que como innovador, y su artículo sobre ecuaciones de 1707 fue uno de los tres únicos trabajos originales que publicó. Sin embargo, contenía una importante idea nueva.

La primera parte del artículo está dedicada a las reglas de resolución de las ecuaciones cúbicas y cuádricas. En el caso de las ecuaciones cúbicas, Colson enuncia en primer lugar la fórmula de solución y, a continuación, ofrece varios ejemplos prácticos para mostrar su uso. Sólo después ofreció una derivación de la misma. Su método, para resolver la ecuación general $z^3 = 3qz + 2r,$ era suponer que $z = a + b,$ así que $z^3 = 3abz + a^3 + b^3.$ Comparando esta identidad con la ecuación propuesta tenemos $q = ab$ (o $q^3 = a^{3}b^{3})$ y $2r = a^3 + b^3.$ Estas ecuaciones se combinan fácilmente para obtener $2ra^3 = a^6 + q^3,$ que es una ecuación cuadrática en $a^3$ con soluciones (1) $a^3 = r + \sqrt{r^2 – q^3}$ $\;\;$ (2) $b^3 = r - \sqrt{r^2 – q^3}.$

No hay nada nuevo ni destacable en esto (ver, por ejemplo, derivaciones similares de Hudde y Dulaurens, páginas 54-55 y 57-58). En este punto, sin embargo, Colson observó que cualquier cantidad tiene tres raíces cúbicas, y que las raíces cúbicas de la unidad son $1,$ $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3},$ $-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{-3}.$ Por lo tanto, las ecuaciones (1) y (2) arrojan tres posibles valores para $a$ y tres para $b.$ Por lo tanto, hay potencialmente nueve valores posibles de $z = a+b.$ Colson probó las distintas combinaciones y descubrió que las yuxtaposiciones que satisfacen la ecuación original son [se omiten las ecuaciones largas mostradas]. Así pues, no había encontrado una sola raíz, como la mayoría de sus predecesores se habían conformado con hacer, sino las tres raíces del cúbico original. nota: Leibniz había afirmado en privado a Huygens que la regla de Cardano podía producir todas las raíces de un cúbico, pero no había explicado cómo. Véase el capítulo 1, nota 19.

[El hecho de que una ecuación cúbica tenga tres raíces y que una ecuación cuártica tenga cuatro ha sido reconocido durante al menos un siglo, pero Colson fue el primero en dar fórmulas explícitas para cada raíz. Su artículo termina con construcciones geométricas que no es necesario utilizar aquí.

(AÑADIDO AL DÍA SIGUIENTE) A continuación se presentan algunos libros que quizá también le interese conocer. No creo que se mencione a Colson en ninguno de estos libros, pero teniendo en cuenta lo que has escrito en tu pregunta y en tus comentarios posteriores, te animaría a considerar la posibilidad de conseguir un ejemplar de alguno de estos libros o de todos ellos.

[1] Isabella G. Bashmakova y Galina S. Smirnova, Los inicios y la evolución del álgebra Traducido del ruso por Abe Shenitzer, The Dolciani Mathematical Expositions #23, Mathematical Association of America, 2000, xvi + 179 páginas. MR 2000h:01002; Zbl 942.01001 [Véase también aquí .]

[2] Roger Lee Cooke, Álgebra clásica. Su naturaleza, orígenes y usos , John Wiley and Sons (Wiley-Interscience), 2008, xii + 206 páginas. MR 2009b:00001; Zbl 1139.00001 [ Revise en la página web de MAA].

[3] Jacques Sesiano, Introducción a la historia del álgebra. Resolución de ecuaciones desde la época mesopotámica hasta el Renacimiento , Mathematical World #27, American Mathematical Society, 2009, viii + 174 páginas. MR2514537; Zbl 1182.01002 [Véase también aquí .]

[4] Jacqueline Anne Stedall, Discurso sobre el álgebra: Álgebra inglesa hasta 1685 , Oxford University Press, 2002, xii + 294 páginas. MR 2005c:01015; Zbl 1035.01006 [ Revise en la página web de MAA].

[5] Veeravalli Seshadri Varadarajan, El álgebra en la antigüedad y en la modernidad , Mathematical World #12, American Mathematical Society, 1998, xvi + 142 páginas. MR 99d:01007; Zbl 917.01002 [Véase también aquí .]

[6] Girolamo Cardano, El gran arte o las reglas del álgebra , traducido y editado por T. Richard Witmer, MIT Press, 1968, xxiv + 267 páginas. MR 40 #4074 y 50 #12562; Zbl 191.27704 [Reimpreso por Dover Publications en 1993 (MR 94k:01038; Zbl 862.01034) y en 2007].

[7] François Viète, El arte analítico , traducido por T. Richard Witmer, The Kent State University Press, 1983, i + 450 páginas. MR 86b:01012; Zbl 558.01041 [Reimpreso por Dover Publications en 2006 (Zbl 1115.01017)].

[8] Edward Waring, Meditationes Algebraicae. Una traducción al inglés de la obra de Edward Waring editado y traducido del latín por Dennis Weeks, American Mathematical Society, 1991, lx + 459 páginas. MR 93a:01026

Answer 2

Ahora, el punto de mi pregunta es si Colson podría representar el comienzo de la independencia del álgebra de la geometría. [...] ¿Quién podría ser un mejor representante para esto?

Me imagino que Thomas Harriot sería un mejor representante que John Colson en términos de separar álgebra de geometría.

De la página 490 de Jacqueline A. Stedall. (2000). "Despojado de glorias: las desdichas póstumas de Thomas Harriot y su álgebra," Archivos de Historia de las Ciencias Exactas, vol. 54, pp. 455–497:

¿Qué debemos considerar ahora como las 'Mejoras del álgebra que se encuentran en Harriot'? La primera y más obvia debe ser su notación: el uso de letras minúsculas, con repetición para indicar multiplicación, liberó el álgebra por primera vez de las connotaciones geométricas que siempre había llevado anteriormente. [...]

Desprenderse del equipaje geométrico, sin embargo, condujo a algo más que la simplificación de la notación: también hizo posible el segundo gran logro de Harriot, el manejo de ecuaciones a un nivel puramente simbólico. Si el logro de Descartes fue mostrar cómo el álgebra podía aplicarse a la geometría, el logro de Harriot fue liberar al álgebra por completo de la geometría, de modo que por primera vez podía convertirse realmente en una materia por derecho propio. [...] La mejor contribución de Harriot, sin embargo, fue 'tratar el álgebra puramente por sí misma, y desde sus propios principios, sin depender de la geometría, o de cualquier conexión con ella'. [...] Harriot debe ser considerado como el primero en prescindir por completo de consideraciones geométricas, y como el primer precursor del álgebra abstracta moderna.

La Artis analyticae praxis (La práctica del arte analítico) de Harriot fue publicada en 1631, diez años después de su muerte.